Дана функция F(x)=sin^2x-cosx+16 Найдите корни уравнения f'(x)=0 на отрезке

3,6,9,12,15,18,21,24,27,30 — арифметическая прогрессия с шагом 3, из десяти членов.
шаг=разность. т. е. в данном случае разность равна 3 (от последующего числа отнимаем предыдущее)
Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, является средним арифметическим предыдущего и следующего члена прогрессии. т. е. 6 это среднее арифметическое чисел 3 и 9 (3+9)/2=6 (см. пример)... если взять числа 15, 18, 21, то ср. арифм 18 (проверь сам)
чтобы найти н-ый член, нужно знать первое число и шаг. см. пример... найдем 5-ый член прогрессии 3*5=15
кажется все с арифметической.
если все понятно и вопросов нет, то можно перейти к геометрической)

Sin^3(x)+cos^3(x)=cos^2(x)-sin^2(x)
sin^3(x)+sin^2(x)+cos^3(x)-cos^2(x)=0
sin^2(x)(sin(x)+1)+cos^2(x)*(cos(x)-1)=0
Оценим:
sin^2(x)≥0, sin(x)+1≥0, тогда sin^2(x)*(sin(x)+1)≥0
cos^2(x)≥0, cos(x)-1≤0, тогда cos^2(x)*(cos(x)-1)≤0
Получили: уравнение имеет решения,когда оба этих выражения равны 0.

Но тут я лучше по-другому распишу это.

sin^3(x)+cos^3(x)=cos^2(x)-sin^2(x)
(sin(x)+cos(x))*(sin^2(x)-sin(x)cos(x)+cos^2(x))-(cos(x)-sin(x))*(cos(x)+sin(x))=0
(sin(x)+cos(x))*(sin^2(x)-sin(x)cos(x)+cos^2(x)-cos(x)+sin(x))=0
То:
sin(x)+cos(x)=0 или 1-sin(x)cos(x)-cos(x)+sin(x)=0
tg(x)=-1                   sin^(x)-2sin(x)cos(x)+cos^2(x)+(sin(x)-cos(x))+sin(x)cos(x)=0
x=-pi/4+pi*n             (sin(x)-cos(x))^2+ (sin(x)-cos(x))+sin(x)*cos(x)=0
                               Пусть sin(x)-cos(x)=t, то 
                               t^2=1-2sin(x)cos(x)
                               2sin(x)cos(x)=1-t^2
                               sin(x)cos(x)=(1-t^2)/2
                               Получили: t^2+t+1/2-1/2t^2=0
                               0.5t^2+t+0.5=0
                               t^2+2t+1=0
                               (t+1)^2=0, ⇒ t=-1
                               sin(x)-cos(x)=-1
                               sin(x)=cos(x)-1
                               x=-pi/2+2pi*n; x=2pi*n

ответ:  n-Целое число