Задание: I. Преобразуйте выражение в многочлен: 1) х2 + (3х –у)2; 2) (5х+7у)2−70ху; 3) (2х−у)(2х+у)+у2; 4) 9х2 – (с + 3х)(с – 3х); 5) 3а(3а + 7) – (3а + 1)2; 6) (с – 5)(с – 1) – (с – 6)2. II. У выражение: 1) (3х + у)(х – 2у) + (2х + у)(х – 5у); 2) 3х(х + 1) + (х + 2)(х – 3); 3) (х – 4)( х + 6) + (х – 10)(х – 2); III. Найдите значение выражения: 1) (7 – а)(7 + а) + (а + 3)2 при а = –3, 5; 2) (2а – b)2 – (2a + b) при а = 137; b = 0, 7

ответ: Нет.

Из условия следует, что f(x) = (x – a)(x – b), где a ≠ b.

Пусть искомый многочлен f(x) существует.

Тогда, очевидно f(f(x)) = (x – t1)²(x – t2)(x – t3).

Заметим, что t1, t2, t3 — корни уравнений f(x) = a и f(x) = b, при этом корни этих уравнений не совпадают, поэтому можно считать, что уравнение f(x) = a имеет один корень x = t1.

Рассмотрим уравнение f(f(f(x))) = 0. Его решения, очевидно, являются решениями уравнений f(f(x)) = a и f(f(x)) = b. Но уравнение f(f(x)) = a равносильно уравнению f(x) = t1 и имеет не более двух корней, а уравнение f(f(x)) = b — не более четырех корней (как уравнение четвертой степени).

То есть уравнение f(f(f(x))) = 0 имеет не более 6 корней

ответ: Нет.

Из условия следует, что f(x) = (x – a)(x – b), где a ≠ b.

Пусть искомый многочлен f(x) существует.

Тогда, очевидно f(f(x)) = (x – t1)²(x – t2)(x – t3).

Заметим, что t1, t2, t3 — корни уравнений f(x) = a и f(x) = b, при этом корни этих уравнений не совпадают, поэтому можно считать, что уравнение f(x) = a имеет один корень x = t1.

Рассмотрим уравнение f(f(f(x))) = 0. Его решения, очевидно, являются решениями уравнений f(f(x)) = a и f(f(x)) = b. Но уравнение f(f(x)) = a равносильно уравнению f(x) = t1 и имеет не более двух корней, а уравнение f(f(x)) = b — не более четырех корней (как уравнение четвертой степени).

То есть уравнение f(f(f(x))) = 0 имеет не более 6 корней.