Найдите корень уравнения 7 2 ​ x + 14 3 ​ = 14 13 ​ - 7 3 ​ x

72х + 143 = 1413 - 73х

72х + 73х = 1413 - 143

145х = 1270

х = 8, 75

Проведём через точку (1; 4) прямую, пересекающую оси Ох и Оу в положительных значениях. Координата точки пересечения с осью Ох равна х, а с осью Оу равна у.

Длину по у можно выразить через х по пропорции:

4/(х - 1) = у/х, отсюда у = 4х/(х - 1).

Сумма длин х + у = х + (4х/(х - 1)) = (х² - х + 4х)/(х - 1) = (х² + 3х)/(х - 1).

Производная этой функции равна y' = (x² - 2x - 3)/(x - 1)².

Для нахождения минимума приравняем её нулю (достаточно числитель): x² - 2x - 3 = 0. Д = 4 + 4*3 = 16. х = (2+-4)/2 = 3 и -1 (отрицательное значение не принимаем).

Определим знаки производной (по числителю - знаменатель положителен) левее и правее найденной критической точки.

х =     2      3      4

y' =   -3      0      5    Переход от + к -  это минимум.

Находим уравнение прямой через 2 точки: (1; 4) и (3; 0)

(х - 1)/2 = (у - 4)/-4.  Сократим знаменатели на 2.

(х - 1)/1 = (у - 4)/-2. это каноническое уравнение прямой.

-2х + 2 = у - 4.

у + 2х - 6 = 0  это общее уравнение прямой,

у = -2х + 6   оно же с угловым коэффициентом.

Дана функция f(x) = (-1/3)x³  (1/2)x² + 2х - 6.

Находим производную y'(x) = -x² - x + 2.

Определяем критические точки, приравняв производную нулю.

-x² - x + 2 = 0   или  x² + x - 2 = 0.

Ищем дискриминант:

D=1^2-4*1*(-2)=1-4*(-2)=1-(-4*2)=1-(-8)=1+8=9;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

x_1=(√9-1)/(2*1)=(3-1)/2=2/2=1;

x_2=(-√9-1)/(2*1)=(-3-1)/2=-4/2=-2.

Получили 3 промежутка монотонности функции:

(-∞; -2), (-2; 1) и (1; +∞).

Находим знаки производной y' = -x² - x + 2 на этих промежутках

х =     -3      -2      0       1       2

y' =     -4       0     2      0       -4.

Там, где производная отрицательна - там функция убывает.

Это промежутки (-∞; -2) и (1; +∞).