Решите уравнение 8sinx+11cosx=√185. x=...arcsin .../√...+π/...+πn, n∈Z. Вставте числа вместо точек.

ответ: функция непрерывна на всей числовой оси.

Объяснение:

Функция cos(x), а вместе с ней и функция y=3^[cos(x)], определена на всей числовой оси. Мы докажем непрерывность функции в точке x0, где x0 - любая точка числовой оси, если докажем стремление к нулю выражения y(x0+Δx)-y(x0) при Δx⇒0. Но y(x0+Δx)-y(x0)=3^cos(x0+Δx)-3^cos(x0)=3^[cos(x0)*cos(Δx)-sin(x0)*sin(Δx)]-3^cos(x0). При Δx⇒0 cos(Δx)⇒1, а sin(Δx)⇒0, поэтому выражение cos(x0)*cos(Δx)-sin(x0)*sin(Δx) стремится к cos(x0), а выражение 3^[cos(x0)*cos(Δx)-sin(x0)*sin(Δx)]-3^cos(x0) - к нулю. Таким образом доказана непрерывность данной функции на всей числовой оси.  

Объяснение:

попытаюсь объяснить. в целом алгоритм простой. легче всего, конечно, построить график и посмотреть где функция убывает, а где возрастает. Но если такой не подходит, то надо искать производную. В первом примере производная от синуса равна косинусу. Приравняем получившуюся производную к нулю (f'(x)=cosx=0). То есть х=π/2+πn, где n∈Z.  Именно при таких х производная равна 0, то есть функция f(x) меняет свою монотонность. Если производная меньше нуля, то функция убывает, если больше, то она возрастает. Для этого надо подставить какие нибудь значения справа и слева от точек x=π/2+πn. Получаем что слева функция возрастает, а справа убывает. То есть функция возрастает от -π/2+πn, до π/2+πn, а убывает от π/2+πn до 3π/2+πn, где n∈Z.

Аналогично решим и другие. (надеюсь что теорию вы поняли, поэтому не буду расписывать)

2) Производная от косинуса равна   минус синусу. Синус равен нулю в точках πn, где n∈Z. Так как при π/2 -sin(π/2) <0, то на промежутке от 0+πn до π+πn, где n ∈Z, функция убывает (так как точка π/2 лежит на таком промежутке при n=0 ), значит на интервале от -π+πn до 0+πn функция возрастает.

3) производная от тангенса равна 1/((cos x)^2).  То есть при любых х производная больше 0. Это значит что функция возрастает на всей области определения.

4) производная от данной функции равна f'(x)=2cos(2x)-2sin(2x). Производная равна нулю при x=π/8+2πn и x=5π/8+2πn, где n∈Z. Решив аналогично предыдущим примерам, получим, что функция убывает на интервале [π/8+2πn; 5π/8+2πn]  и возрастает на интервале [5π/8+2πn; 9π/8+2πn] где n∈Z.