З двох міст, відстань між якими 52 км, одночасно вирушили назустріч один одному два велосипедисти і зустрілися через 2 год. Знайдіть швидкість кожного велосипедиста, якщо відомо, що другий велосипедист проїжджає за 3 год на 18 км більше, ніж перший проїжджає за 2 години.

ответ:Х км/ч скорость первого

у км/ч скорость второго

3у-2х=18

52/(х+у)=2 или х+у=26

умножим второе уравнение на 2 и получим: 2х+2у=52

сложим 2 уравнения

3у+2у=70

у=70/5=14 км/ч скорость второго

х=26-14=12 км/ч скорость первого

1.
f (x) = (3x + 2)³·(2x - 1)⁴
f'(x) = 3·(3x + 2)²·3·(2x - 1)⁴ + (3x + 2)³·4·(2x - 1)³·2 = (3x + 2)²·(2x - 1)³·(9·(2x - 1) + 8·(3x + 2)) = (3x + 2)²·(2x - 1)³·(18x - 9 + 24x + 16) = (3x + 2)²·(2x - 1)³·(42x + 7) = 7·(3x + 2)²·(2x - 1)³·(6x + 1)

2.
f (x) = x² - x - 6
f'(x) = 2x - 1
Координаты x точек пересечения с Oх:
x² - x - 6 = 0
По теореме Виета:
x₁ = -2
x₂ = 3
Координата x точки пересечения с Oy: x₃ = 0.
f'(-2) = 2·(-2) - 1 = -5
f'(3) = 2·3 - 1 = 5
f'(0) = 2·0 - 1 = -1

3.
(cos 2x + 3·tg π/8)' ≥ 2·cos x
-2·sin 2x ≥ 2·cos x
-sin 2x ≥ cos x
cos x + sin 2x ≤ 0
cos x + 2·sin x·cos x ≤ 0
cos x·(1 + 2·sin x) ≤ 0

cos x ≤ 0                  cos x ≥ 0
(1 + 2·sin x) ≥ 0       (1 + 2·sin x) ≤ 0

cos x ≤ 0                  cos x ≥ 0
sin x ≥ -1/2               sin x ≤ -1/2

x ∈ [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn], n ∈ Z         x ∈ [-π/2 + 2πm; π/2 + 2πm], m ∈ Z
x ∈ [-π/6 + 2πk; 7π/6 + 2πk], k ∈ Z        x ∈ [7π/6 + 2πp; 11π/6 + 2πp], p ∈ Z

x ∈ [π/2 + 2πn; 7π/6 + 2πn], n ∈ Z         x ∈ [3π/2 + 2πk; 11π/6 + 2πk], k ∈ Z

x ∈ [π/2 + 2πn; 7π/6 + 2πn] ∪ [3π/2 + 2πn; 11π/6 + 2πn), n ∈ Z

1.

Условие существования экстремума: f'(x) = 0.

x² + 2x - 3 = 0
По теореме Виета:
x₁ = -3
x₂ = 1

f'(x) > 0, x ∈ (-∞; -3) и f'(x) < 0, x ∈ (-3; -1) U (-1; 1) ⇒ x₁ = -3 -- точка локального максимума
f'(x) < 0, x ∈ (-3; -1) U (-1; 1) и f'(x) > 0, x ∈ (1; +∞) ⇒ x₂ = 1 -- точка локального минимума

2.

Непрерывная на отрезке функция может достигать своего наибольшего и наименьшего значений лишь на концах отрезка и в точках экстремума.

x = 6 ∉ [0; 3] ⇒ функция достигает своего наибольшего и наименьшего значений на концах отрезка.

x = 0 -- точка максимума
x = 3 -- точка минимума