Дифференциальные уравнения y'+2y/x=y^2 sinx

Объяснение:Представим исходное дифференциальное уравнение в виде:

y'+2y/x=y² *Sin(x)

Найти общее решение уравнения

y'+2*y/x=y² *sin(x)

Это уравнение Бернулли при n=2.

Разделив обе части уравнения на y² получаем:

y'/y²+2/(x·y)=sin(x)

Делаем замену: z=1/y

Тогда z' = -1/y2

и поэтому уравнение переписывается в виде

-z'+2·z/x=sin(x)

Решаем это уравнение методом вариации произвольной постоянной.

Представим в виде:

-z'+2·z/x = sin(x)

Это неоднородное уравнение. Рассмотрим соответствующее однородное уравнение:

-z'+2*z/x= 0

1. Решая его, получаем:

z' = 2·z/x     dz/dx=2z/x  dz/z= 2dx/x

Интегрируя, получаем:   ∫dz/z= 2∫dx/x

ln(z) = 2·ln(x)+lnC    ln(z) = ln(x²)+lnC

z = Cx²  

Ищем теперь решение исходного уравнения в виде:

z(x) = C(x)·x²,    z'(x) = C'(x)·x²+C(x)·(x²)'

-2·C(x)·x-C'(x) ·x²+2·z/x=sin(x)

-C'(x)·x² = sin(x)

или    C'(x) = -sin(x)/x²

Интегрируя, получаем:    C(x)=-∫Sin(x)/x² dx = (нтегрируем по частям) =С+ln(x)- ln(x²)/2+Sin(x)/x

Из условия z(x)=C(x)*x2, получаем:

z(x) = C(x)·x² = x²·(C+ln(x)-ln(x²)/2+0(x)+sin(x)/x)

или      z = C·x²+x²·ln(x)-x²·ln(x²)/2 +x·sin(x)

Поскольку z=1/y, то получим:

1/y=C·x2+x2·ln(x)-x2·ln(x2)/2 +x·sin(x)                                                       ответ: 1/у= C·x2+x2·ln(x)-x2·ln(x2)/2 +x·sin(x)

У+ у – х = 70, т. е. 2у – х = 70. отсюда х = 2у – 70. когда мне было столько же лет, сколько вам сейчас, т. е. когда мне было у – х лет, вам было на х лет меньше (т. к. вы моложе меня на х лет) , т. е. у – х – х = у – 2х. мне сейчас в 2 раза больше, т. е. 2*(у – 2х) лет. с другой стороны мне сейчас у лет. получаем уравнение у = 2*(у – 2х) . у = 2у – 4х. у = 4х. подставим сюда х = 2у – 70. у = 4*(2у – 70). у = 8у – 280. 7у = 280. у = 40. ответ: 40 лет. проверка х = 2у – 70 = 2*40 – 70 = 10. вам сейчас 30 лет. 40 + 30 = 70.

Обозначим все задание S
скорость первого штукатура х чего-то там в час (нам не важно в чем  они там измеряют свою работу)
скорость второго у
тогда первый выполнит всю работу за S/x часов, а второй - за S/y часов
по условию S/y-S/x=5
кроме того S/(x+y)=6
получили систему из двух уравнений с тремя неизвестными. В общем виде она не решается, но нам надо найти только S/x и S/у - это нам вполне по силам))

Рассмотрим отдельно второе уравнение
S/(x+y)=6
S=6(x+y) разделим его на S
1=6x/S+6y/S

обозначим S/x=a и S/y=b (а и b -это как раз время за котторое каждый штукатур выполнит задание!). Тогда первое уравнение b-a=5, а второе 6/a+6/b=1
теперь это система из двух уравнений с двумя неизвестными

b=5+a
6(b+a)/ab=1    6(a+b)=ab
6(a+5+a)=a(5+a)
12a+30=5a+a²
a²-7a-30=0
D=7²+4*30=49+120=169
√D=13
a₁=(7-13)/2=-3 отбрасываем отрицательное значение
a₂=(7+13)/2=10
a=10
b=5+a=15
ответ: 10 и 15 часов