Знайдіть чотири числа , що утворюють геометричну прогресію , якщо відомо, що перше число менше від третього на 36, а друге менше від четвертого на 12

Для того,чтобы сумма квадратов корней уравнения равнялась какой-либо величине, эти корни должны существовать. Значит, дискриминант нашего уравнения должен быть неотрицательным,т.е
(3p-5)^2-4(3p^2-11p-6)>=0. При таких "p" у исходного уравнения найдутся(возможно, совпадающие) корни x1 и x2. Запишем для них теорему Виета:
x1+x2=-b/a=5-3p
x1*x2=c/a=3p^2-11p-6
Теперь,не вычисляя корней, можно найти сумму их квадратов через "p": x1^2 + x2^2.
Выделим полный квадрат:
(x1+x2)^2-2x1*x2= (5-3p)^2-2(3p^2-11p-6).
По условию, эта сумма квадратов  равна 65.
Получаем:
(5-3p)^2-2(3p^2-11p-6)=65
Решим его:
25-30p+9p^2-6p^2+22p+12-65=0
3p^2-8p-28=0
D=(-8)^2-4*3*(-28)=400
p1=(8-20)/6=-2
p2=(8+20)/6=14/3
Проверим, подставив эти значения "p" в исходное уравнения, чтобы убедиться, что дискриминант неотрицателен.
Проверять здесь не буду из-за экономии времени. Все найденные "p" подходят.
Теперь найдем корни уравнения:
1)p=-2
x^2-11x+28=0
x1=4; x2=7
2)p=14/3
x^2+9x+8=0
x1=-8; x2=-1
ответ: при p=-2 x1=4, x2=7; при p=14/3 x1=-8, x2=-1.

В решении.

Объяснение:

Решить системы уравнений алгебраического сложения:

Смысл метода алгебраического сложения в том, чтобы при сложении уравнений одно неизвестное взаимно уничтожилось. То есть, чтобы коэффициенты при неизвестном каком-то были одинаковыми, но с противоположными знаками. Для того, чтобы этого добиться, преобразовывают уравнения, можно умножать обе части уравнения на одно и то же число, делить.

а)

2x + y = 11

5x - 2y = 6

В данной системе нужно первое уравнение умножить на 2:

4х + 2у = 22

5х - 2у = 6

Складываем уравнения:

4х + 5х + 2у - 2у = 22 + 6

9х = 28

х = 28/9

х = 3 и 1/9;

Теперь подставить значение х в любое из двух уравнений системы и вычислить у:

2x + y = 11

у = 11 - 2х

у = 11 - 2*28/9

у = 11 - 56/9

у = 11 - 6 и 2/9

у = 4 и 7/9.

Решение системы уравнений (3 и 1/9; 4 и 7/9).

Проверка путём подстановки  вычисленных значений х и у в систему уравнений показала, что данное решение удовлетворяет данной системе уравнений.

б)

3х - у = 9

7х + 2y = 6

В данной системе нужно первое уравнение умножить на 2:

6х - 2у = 18

7х + 2у = 6

Складываем уравнения:

6х + 7х -2у + 2у = 18 + 6

13х = 24

х = 24/13

х = 1 и 11/13;

Теперь подставить значение х в любое из двух уравнений системы и вычислить у:

7х + 2у = 6

2у = 6 - 7х

2у = 6 - 7*24/13

2у = 6 - 168/13

2у = 6 - 12 и 12/13

2у = -6 и 12/13

у = (-6 и 12/13) : 2

у = - 45/13

у = - 3 и 6/13.

Решение системы уравнений (1 и 11/13; -3 и 6/13).

Проверка путём подстановки  вычисленных значений х и у в систему уравнений показала, что данное решение удовлетворяет данной системе уравнений.

в)

4x-3y = -15

5x+3y = -3

В данной системе ничего преобразовывать не нужно.

Складываем уравнения:

4х + 5х - 3у + 3у = -15 - 3

9х = -18

х = -18/9

х = -2;

Теперь подставить значение х в любое из двух уравнений системы и вычислить у:

5x+3y = -3

3у = -3 - 5*х

3у = -3 - 5*(-2)

3у = -3 + 10

3у = 7

у = 7/3

у = 2 и 1/3.

Решение системы уравнений (-2; 2 и 1/3).

Проверка путём подстановки  вычисленных значений х и у в систему уравнений показала, что данное решение удовлетворяет данной системе уравнений.

г)

2х - 6у = 1

4х – 6у = 7

В данной системе нужно любое из двух уравнений умножить на -1.

-2х + 6у = -1

4х - 6у = 7

Складываем уравнения:

-2х + 4х + 6у - 6у = -1 + 7

2х = 6

х = 3;

Теперь подставить значение х в любое из двух уравнений системы и вычислить у:

2х - 6у = 1

-6у = 1 - 2х

6у = 2х - 1

6у = 2*3 - 1

6у = 5

у = 5/6

у = 5/6.

Решение системы уравнений (3; 5/6).

Проверка путём подстановки  вычисленных значений х и у в систему уравнений показала, что данное решение удовлетворяет данной системе уравнений.

б)

5х - 2у = 6

7х + 2у = 6

В данной системе ничего преобразовывать не нужно.

Складываем уравнения:

5х + 7х - 2у + 2у = 6 + 6

12х = 12

х = 1;

Теперь подставить значение х в любое из двух уравнений системы и вычислить у:

7х + 2у = 6

2у = 6 - 7х

2у = 6 - 7*1

2у = -1

у = -0,5.

Решение системы уравнений (1; -0,5).

Проверка путём подстановки  вычисленных значений х и у в систему уравнений показала, что данное решение удовлетворяет данной системе уравнений.

г)

2х - 5у = 1

4х - 5у = 7

В данной системе нужно любое из двух уравнений умножить на -1.

-2х + 5у = -1

4х - 5у = 7

-2х + 4х + 5у - 5у = -1 + 7

2х = 6

х = 3;

Теперь подставить значение х в любое из двух уравнений системы и вычислить у:

2х - 5у = 1

-5у = 1 - 2х

5у = 2х - 1

5у = 2*3 - 1

5у = 5

у = 1.

Решение системы уравнений (3; 1).

Проверка путём подстановки  вычисленных значений х и у в систему уравнений показала, что данное решение удовлетворяет данной системе уравнений.