Вычислите 1/5 ^1+2 log 1/5 ^5

ответ: функция z имеет минимум, равный 2, в точке М(1;1).

Объяснение:

Пишем уравнение связи в виде g(x,y)=x+y-2=0 и составляем функцию Лагранжа L=z+a*g=1/x+1/y+a*(x+y-2), где a - множитель Лагранжа. Находим частные производные dL/dx и dL/dy: dL/dx=-1/x²+a, dL/dy=-1/y²*a и составляем систему из трёх уравнений:

-1/x²+a=0

-1/y²+a=0

a*(x+y-2)=0

Решая её, находим a=1, x=y=1. Таким образом, найдена единственная стационарная точка M(1;1). Теперь проверим, выполняется ли достаточное условие экстремума. Для этого находим вторые частные производные: d²L/dx²=2/x³; d²L/dxdy=0, d²L/dy²=2/y³ Вычисляем значение найденных производных в точке М: A=d²L/dx²(M)=2, B=d²L/dxdy(M)=0, C=d²L/dy²(M)=2 и составляем дифференциал 2-го порядка: d²L=A*(dx)²+2*B*dx*dy+C*(dy)²=2*dx²+2*dy²>0, поэтому функция z в точке М имеет минимум, равный zmin=1/1+1/1=2.

Уравнение |x+|y|-1|=2 делится на два: x+|y|-1=2 и x+|y|-1=-2
1. x+|y|-1=2
|y|=3-x
1a. y <0, тогда |у|=-у
-y=3-x
y=x-3
При этом x-3 <0,x <3
Получаем, при х <3 у=х-3
1б. у≥0, тогда |у|=у
y=3-x
3-х≥0, х≤3
Получаем, при х ≤3 у=3-х

Уравнение |x+|y|-1|=2 делится на два: x+|y|-1=2 и x+|y|-1=-2
2. x+|y|-1=-2
|y|=-1-x
2a. y <0, тогда |у|=-у
-y=-1-x
y=x+1
При этом x+1 <0,x <-1
Получаем, при х <-1 у=х+1
2б. у≥0, тогда |у|=у
y=-1-x
-1-х≥0, х≤-1
Получаем, при х ≤-1 у=-х-1
Итого надо построить четыре луча:
При х ≤3 y=x-3 и y=3-x
При х ≤-1 y=x+1 и y=-x-1