На виставці квітів нові сорти орхідей призначили оцінювати суддю Квітка, хоча він і спеціалізується на оцінюванні тюльпанів. Оскільки Квітко погано розуміється на орхідеях, то свої оцінки він виставляє, користуючись не «Квітникарським кодексом», а правилами, які сам установив. Шкала оцінок, яку використовує суддя Квітко, п'ятибальна: A, В, С, D, Е, де А - найвища оцінка, а Е - найнижча. Йому потрібно оцінити за цією шкалою п'ять нових сортів орхідей: O1, O2, O3, O4 та O5. Скількома різними суддя Квітко може розставити оцінки так, щоб жодні два сорти орхідей не отримали одну й ту ж оцінку, а крім того, сорт O1 отримав більш високу оцінку, ніж сорт O2?

Пусть сорт О1 получил оценку А, тогда остальные сорта могут получить 4 оценки: B,C,D, Е

Пусть сорт О1 получил оценку B, тогда сорт О2  может  получить оценки: C,D, Е

Оставшиеся две оценки и оценку А  могут получить сорта 03;04;05

Пусть сорт О1 получил оценку С, тогда сорт О2  может  получить оценки: D, Е

Оставшуюся оценку  и оценки  А, B  могут получить сорта 03;04;05

Пусть сорт О1 получил оценку D, тогда сорт О2  может  получить только оценку  Е

Оценки  А, B,С  могут получить сорта 03;04;05

Всего: 24+18+12+6=60 cпособов

План действий такой: 1) ищем производную
                                      2) приравниваем её к нулю и решаем получившееся уравнение
                                      3) Смотрим: какие корни попали в указанный промежуток и ищем значения данной функции в этих точках и на концах данного отрезка;
                                       4) пишем ответ.
Поехали?
1) f'(x) = ((x² -8x)'(x+1) - (x² -8x)(x+1)')/(x+1)²=
 ((2x-8)(x+1) - (x²-8x))/(x+1)²= (2x² -8x +2x -8 - x² +8x)/(x+1)²=
=(x² +2x -8) / (х+1)²
2)(x² +2x -8) / (х+1)² ⇒ x² +2x -8 =0, ⇒ х = - 4   и   х = 2
3) Из найденных корней в указанный промежуток попало  х = -4
а) х = -4
f(-4) = (-4)² -8*(-4) /(-4+1) = 48/(-2) = -24
б) х = -5
f(-5) = (-5)² -8*(-5) /(-5+1) = 65/(-4) = -13,75
в) х = -2
f(-2) = (-2)² -8*(-2)/(-2+1) = 20/(-1) = -20
4) maxf(x) = f((-2) = -20
    minf(x) = f(-4) = -24

Область допустимых значений (ОДЗ): x >= -4.
x - 4*V(x + 4) - 1 < 0 ( V - корень квадратный).
x - 1 < 4*V(x + 4)
Правая часть неравенства <= 0 для всех х из ОДЗ, левая часть < 0 при x < 1, то есть неравенство выполняется при x < 1,
с учетом ОДЗ получаем -4 <= х < 1.
Пусть x >= 1.
Возведем обе части неравенства в квадрат
(x - 1)^2 < 16*(x + 4)
x^2 - 2*x + 1 < 16*x + 64
x^2 - 18*x - 63 < 0
Равенство верно на интервале между корнями уравнения.
Корни х1 = -3, х2 = 21, неравенство выполняется для -3 < х < 21, с учетом x >= 1 получаем 1 <= х < 21.
Объединяем условия -4 <= х < 1 и 1 <= х < 21, получаем
ответ: -4 <= х < 21.