Стороны выпуклого четырехугольника MNKL равны MN = a, NK = b, KL = c, ML = d. Найдите площадь четырехугольника MNKL, если известно, что существуют такие точки А и В, где A принадлежит МL, B принадлежит NK, что вокруг четырехугольников MNBA и KLBA можно описать окружности

ответ: Формула на рисунке

Объяснение:

Из условия того, что вокруг  четырехугольников MNBA и KLBA можно описать окружности имеем (cмотрите рисунок)

∠1+∠2 = 180°

∠3 +∠4 =180°

Сложим эти два равенства :

∠1 +∠4 +∠2 +∠3 =360°

∠2+∠3 = 180° → ∠1 +∠4 = 180° → ∠5 =∠1 → MN║LK → MNKL - трапеция с основаниями a и c.

Проведем MG║NK, тогда MGKN - параллелограмм.

MN=GK=a → LG= c-a

MG=NK=b

Обозначим площадь ΔLMG как S ( она может быть рассчитана по формуле Герона)

Тогда высота трапеции:

h=2S/(c-a) →  SMGKN = 2S*a/(c-a)

Тогда площадь трапеции:

Sтр = S + 2S*a/(c-a) = (1 + 2a/(c-a) )*S = S*(c+a)/(c-a)

Формула площади с учетом формулы Герона показана на рисунке.

Пусть х км/ч скорость второго авто, тогда (х+20) км/ч скорость первого. Замечаем, что 2 ч  24 мин = 2,4 ч , составляем уравнение по времени в пути двух авто:

 

420 / х  - 420 / (х+20)  = 2,4

 

Приводим к общему знаменателю х(х+20) и

отбрасываем его, записав, что х не=0 и х не=-20

 

420(х+20)-420х=2,4х(х+20)

420х+8400-420х = 2,4x^2+48х

2,4x^2+48x- 8400 =0

x^2+20x-3500=0

D= 400+4*3500=14400, 2 корня

х(1)=(-20+120)/2 = 50  (км/ч ) скорость второго авто

х(2)= (-20-120)/2= -70 не подходит под усл задачи

 

50+20=70 км/ч  скорость первого авто

 

 

 

 

Пусть пешеход из А до встречи х км

Тогда второй, из В х км. 

Скорость первого, найденная по расстоянию от места встречи до пункта В, равна  (3-х):12 км/мин

Скорость второго по расстоянию от места встречи до А равна х:48 км/мин

Так как пешеходы вышли одновременно, до встречи каждый из них шел одинаковое время:

Первый шел х:((3-х):12)

Второй шел (3-х):(х:48)

Составим уравнение из равенства времени до места встречи:

х:((3-х):12)=(3-х):(х:48)

После некоторых преобразований  и сокращения чисел уравнения на 36 получим квадратное уравнение 

х²-8х+12=0

Корни этого уравнения ( решить сумеете его самостоятельно) 

6 и 2. 

Первый корень не подходит, т.к. расстояние равно 3 км. 

ответ: пешеходы встретятся на расстоянии 2 км от пункта А. 

( Можно решать, выразив время в часах: 48 мин=4/5 часа, 12 мин=1/5 часа)