Два непропорциональных кубических многочлена с целыми коэффициентами имеют общий иррациональный корень. Докажите, что у них есть еще один общий корень

Поскольку, любое уравнение можно поделить на его старший коэффициент, то будем считать, для удобства, что мы рассматриваем два приведенных кубических уравнения с рациональными коэффициентами.

, - рациональные числа.

Поскольку, данные уравнения имеют общий корень, то уравнение, являющееся их разностью, тоже содержит этот корень:

, поскольку коэффициенты уравнений непропорциональны, то все коэффициенты полученного квадратного уравнения ненулевые.

А значит, данный общий иррациональный корень принимает вид : , где - рациональные числа, при этом не полный квадрат, отсюда в частности .

Попробуем показать, что если   корень уравнения

, то и корень данного уравнения , и наоборот. Сделаем некоторое упрощение.

Если число    является корнем данного уравнения , то сделаем замену:   , тогда после раскрытия скобок данное уравнение так же будет с рациональными коэффициентами и будет иметь корень    

Такое уравнение примет вид :

, - рациональные числа.

Учитывая, что

Предположим, что , но тогда , учитывая, что - не полный квадрат, то левая часть равенства иррациональна, а правая  рациональна, что невозможно. То есть мы пришли к противоречию, а значит :

Таким образом:

Аналогично, доказывается, что если корень данного уравнения, то и корень этого уравнения.

Таким образом, мы доказали, что если   корень уравнения

, то и корень данного уравнения и наоборот.  Аналогично доказывается этот факт и для уравнения:

.

А значит, данные кубические многочлены имеют еще один общий иррациональный корень.

Что и требовалось доказать.

Объяснение:

Дана функция    y=2x+7    

Найти:

1)Значение функции при значении аргумента 4, 0, 1, - 7.

2)Значение аргумента при значении функции 9.

1)Чтобы найти значение у, нужно известное значение х подставить в уравнение и вычислить у:

а)х=4

у=2*4+7=15     у=15  при  х=4

б)х=0

у=0+7=7     у=7    при  х=0

в)х=1

у=2*1+7=9    у=9  при  х=1

г)х= -7

у=2*(-7)+7= -7    у= -7   при   х= -7

2)Чтобы найти значение х, нужно известное значение у подставить в уравнение и вычислить х:

у=9

9=2х+7

-2х=7-9

-2х= -2

х=1     при  х=1   у=9

Дана функция    y=2x-7

Найти:

1)Значение функции при значении аргумента 4, 0, 1, - 7.

2)Значение аргумента при значении функции 9.

1)Чтобы найти значение у, нужно известное значение х подставить в уравнение и вычислить у:

а)х=4

у=2*4-7=1     у=1   при  х=4

б)х=0

у=0-7= -7    у= -7   при  х=0

в)х=1

у=2*1-7= -5    у= -5  при  х=1

г)х= -7

у=2*(-7)-7= -21    у= -21   при  х= -7

2)Чтобы найти значение х, нужно известное значение у подставить в уравнение и вычислить х:

у=9

9=2х-7

-2х= -7-9

-2х= -16

х=8     при   х=8   у=9

Постройте график функции y=x2. С графика найдите: а) значения функции при значении аргумента, равном -4;0;2; б) значения аргумента, если значение функции равно 1;0;9; в)наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [-1;2]; г) значения аргумента, при которых 1<y<9если у = 9, то х =3, х=-3если у = 1, то х =1, х=-1если у = 0, то х =0Значения функции определяются по графикуу=х2 = 2 в квадрате = 4у=х2=(-4)2 = 16у=х2 = 0 в квадрате = 0Находим значния функцииНаибольшее значение функции равно 4, при х =2Находим значение аргументаНаименьшее значении функции равно 0, при х=0график этой функции является парабола с центром  точке (0;0)