Решить уравнение методом введения новой переменной x/x2-2+6 x2-2/x =7

Сделаем замену:

Тогда:

Домножим на t:

Решим:

Делаем обратную замену:

1)

2)

ответ:x=3/2; x=-4/3; x=2; x=-1.

P. S.

В следующий раз пользуйтесь скобками и записывайте степень как ^

x/(x^2-2)+6*((x^2-2)/x)=7

Решить  уравнение методом введения новой переменной

x/(x²-2)+6*(x²-2)/x  = 7

ответ:  { - 4/3 ,  - 1 , 3/2 ,  2 }           * * *     { -1 1/3 ; - 1 ;  1,5 ;   2 }  * * *

Объяснение:     x/(x²-2)+6*(x²-2)/x  =7    

ОДЗ: { x≠0 ; x²-2≠ 0 . ⇔  x≠ { -√2 ; 0; √2 }    

замена:  t =x/(x²-2)  

t + 6 /t  =7  || t≠0 ||  ⇔t² -7t + 6=0  ⇒ t₁ =1 ,t₂= 6  ( По теореме Виета )

Обратная замена

а)  x/(x²-2) =1 ⇔ x= x²-2 ⇔x²-x-2 =0   ⇒ x₁ = - 1 , x₂= 2 ;

б) x/(x²-2) =6 ⇔ 6x² - x - 12 =0    D = 1² -4*6*(-12)=289 =17²

x₃,₄ =(1 ±17) /( 2*6)     x₃ =(1-17)/12 =  - 4/3 , x₄ = 3/2.

Объяснение:

Действуем по такому методу:

Если знаменатель дроби — квадратный корень, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе умножаем и числитель, и знаменатель на сопряженный на квадратный корень, находящийся в знаменателе (это, конечно, не всегда, точнее сказать, надо умножить на такое число, чтобы при перемножении знаменателя с ним убирался корень)

1)

2)

3)  вот здесь, как раз-то число, на которое умножаем, это не совсем знаменатель, но именно при перемножении с ним, мы можем избавиться от иррациональности.

P.S. если решил правильно, отметь как лучший)

Формулы Виета — формулы, связывающие коэффициенты многочлена и его корни.

Этими формулами удобно пользоваться для проверки правильности нахождения корней многочлена, а также для составления многочлена по заданным корням.

Эти тождества неявно присутствуют в работах Франсуа Виета. Однако Виет рассматривал только положительные вещественные корни, поэтому у него не было возможности записать эти формулы в общем виде.[1]:138—139

Если {\displaystyle c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n}} — корни многочлена

{\displaystyle x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots +a_{n}}

(каждый корень взят соответствующее его кратности число раз), то коэффициенты {\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}} выражаются в виде симметрических многочленов от корней[2], а именно:

{\textstyle {\begin{aligned}a_{1}&=-(c_{1}+c_{2}+\ldots +c_{n}),\\a_{2}&=c_{1}c_{2}+c_{1}c_{3}+\ldots +c_{1}c_{n}+c_{2}c_{3}+\ldots +c_{n-1}c_{n},\\a_{3}&=-(c_{1}c_{2}c_{3}+c_{1}c_{2}c_{4}+\ldots +c_{n-2}c_{n-1}c_{n}),\\&~~\vdots \\a_{n-1}&=(-1)^{n-1}(c_{1}c_{2}\ldots c_{n-1}+c_{1}c_{2}\ldots c_{n-2}c_{n}+\ldots +c_{2}c_{3}...c_{n}),\\a_{n}&=(-1)^{n}c_{1}c_{2}\ldots c_{n}.\end{aligned}}}

Иначе говоря, {\displaystyle (-1)^{k}a_{k}} равно сумме всех возможных произведений из {\displaystyle k} корней.

Следствие: из последней формулы Виета следует, что если корни многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также целочисленный.

Если старший коэффициент многочлена не равен единице:

то для применения формулы Виета необходимо предварительно разделить все коэффициенты на {\displaystyle a_{0}} (это не влияет на значения корней многочлена). В этом случае формулы Виета дают выражение для отношений всех коэффициентов к старшему:

{\displaystyle {\frac {a_{k}}{a_{0}}}=(-1)^{k}\sum _{1\leqslant i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leqslant n}c_{i_{1}}c_{i_{2}}\dots c_{i_{k}},\quad k=1,2,\dots ,n.}

Доказательство осуществляется рассмотрением равенства, полученного разложением многочлена по корням, учитывая, что {\displaystyle a_{0}=1}

{\displaystyle x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\ldots +a_{n}=(x-c_{1})(x-c_{2})\cdots (x-c_{n}).}

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях {\displaystyle x} (теорема единственности), получаем формулы Виета.

Винберг Э. Б. Алгебра многочленов. Учебное пособие для студентов-заочников III—IV курсов физико-математических факультетов педагогических институтов. — М.: Просвещение, 1980.Weisstein, Eric W. Vieta's Formulas / From MathWorld--A Wolfram Web Resource (англ.)Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Viète theorem" (недоступная ссылка), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 (англ.)Funkhouser, H. Gray (1930), "A short account of the history of symmetric functions of roots of equations", American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 37 (7): 357–365, doi:10.2307/2299273, JSTOR 2299273 (англ.)