Определите знак выражения: cos 500 ctg 800, sin 3 ∙ cos 4 ∙ tg 5

Докажем, сначала, что куб числа - монотонная функция.
Монотонная функция -функций, у которой одному значению переменной соответствует только одно значение функции.
Пойдем методом от противного
пусть в точках х и х+с функция принимает одно и то же значение, тогда:
x^3=(x+c)^3
x^3=x^3+3x^2c+3xc^2+c^3
3c *x^2+ 3c^2 *x +c^3=0|:c не равное 0
3x^2+3cx+c^2=0
D=9c^2-4*3c^2=-3c^2<0
Значит не существует такого с, что функция в при нескольких икс принимает одно и то же значение, а значит она монотонна.
Если функция монотонна, то достаточно доказать, что если функция f(х+1) больше функции f(x) -то функция явл возрастающей.
Пусть:
(x+1)^3>x^3
x^3+3x^2+3x+1>x^3
3x^2+3x+1>0
D=9-12=-3<0
Значит уравнение корней не имеет, у параболы ветви вверх, значит она всюду больше 0
Отсюда следует, что:
(x+1)^3>x^3
f(x+1)>f(x)
Значит функция является монотонно возрастающей.

1) 3750; 2) 2610

Объяснение:

Задачи решаются с применением формул арифметической прогрессии.

1) Чётные числа большие 25, но меньшие 125, это числа

26, 28, ..., 124 . Здесь знаменатель арифметической прогрессии d=2,  a(1)=26, a(n)=124

a(n)=a(1)+d(n-1)

124 = 26+2(n-1)

124=26+2n-2

2n=100

n=50 - количество членов прогрессии.

Найдём их сумму:

S(n)=(a(1)+a(n))*n/2

S(50)=(26+124)*50:2=3750

2) Двузначные числа: 10,11,..., 99. Всего их 90=99-9.

   Их сумма S(90)=(10+99)*90:2=4905

   Двузначные, которые делятся на 3:

   12, 15,...,99. Сколько их?

   a(1)=12, a(n)=99, d=3

   99=12+3(n-1)

   99=12+3n-3

   3n=90

   n=30

   Найдём их сумму: S(30)=(12+99)*30:2=1665

   Двузначные, которые делятся на 5:

   10, 15,...,95. Сколько их?

   a(1)=10, a(n)=95, d=5

   95=10+5(n-1)

   95=10+5n-5

   5n=90

   n=18

   Найдем их сумму: S(18)=(10+95)*18:2=945

  Двузначные, которые делятся и на 3 и на 5:

   15, 30, 45, 60, 75, 90. Их сумма равна 315

   Теперь, от суммы всех двузначных чисел отнимем сумму чисел делящихся на 5, сумму чисел делящихся на 3 и прибавим сумму чисел, делящихся на 3 и на 5 одновременно (чтобы не было задвоения), получим:

4905 -1665 -945 +315 = 2610