Сколько корней имеет квадратный трехчлен -(x-m)^2+n, еслиизвестно, чтоm< 0 и n< 0? ? 8 класс,

-(x-m)^2+n  =0, m< 0  и n< 0

-(x^2-2mx+m^2)+n=0

-x^2+2mx-m^2+n=0

x^2-2mx+m^2-n=0

d=(-2m)^2-4*1*(m^2-n)=4m^2-4m^2+4n=4n

4n< 0, т.к. по условию n< 0, значит d< 0, следовательно корней нет

 

ответ: корней нет (0 корней)

-(x-m)^2+n=0 -(x-m)^2=-n

в левой части равенства имеем число < 0, а в правой > 0, следовательно

такое равенство невыполнимо.

решить уравнение  .

решение.  если раскрыть скобки и подобные слагаемые, то получится уравнение  , которое решать весьма сложно. поэтому воспользуемся другим способом: введем новую переменную    и решим квадратное уравнение  . его корни:     и  . соответственно исходное уравнение будет равносильно совокупности двух уравнений   

или

таким образом, исходное уравнение четвертой степени имеет два корня    и  .

ответ:   ,  .

пример 2.  решить уравнение  x3  – 4x2  + 5x  –2 = 0.

решение.  преобразуем    уравнение:

x3  – 4x2  + 5x  – 2 = 0;                                         (x3  – 4x2  + 4x) + (x  – 2) = 0;

x(x2  – 4x  + 4) + (x  – 2) = 0;                     x(x  – 2)2  + (x  – 2) = 0;

(x  – 2)·(x2  – 2x  + 1) = 0;                               (x  – 2)·(x  – 1)2  = 0.

значит,  x  – 2 = 0 или (x  – 1)2  = 0.

ответ:   х  = 1 или  х  = 2.

пример 3.  решить  уравнение  .

решение.  данное уравнение можно решать двумя способами.

                  способ 1.  сгруппируем слагаемые следующим образом:

.

уравнение    не имеет решений, поскольку  .

таким образом,    исходное уравнение имеет единственное решение  .

                  способ 2.  так как данное уравнение является и имеет целые коэффициенты, то найдем один его корень подбором среди делителей свободного члена  :   . легко убедиться, что    является корнем уравнения. чтобы  найти остальные корни разделим  многочлен    на двучлен  :

получим совокупность двух уравнений  , которая решена в способе 1.ответ:   .пример 4.  найти наибольший отрицательный корень уравнения.решение.  подобрать корни данного уравнения весьма сложно, поэтому воспользуемся следующим приемом:   домножим  (или разделим) данное уравнение на некоторое число так, чтобы старший член уравнения стал кубом некоторого выражения.заметим, что  , и введем новую переменную  . в результате получим уравнение  , равносильное  исходному. подбором найдем его корни  ,    и  , которым будут соответствовать корни исходного уравнения  ,    и  . наибольшим отрицательным корнем является  .ответ:   .пример 5.  найти    наименьший корень уравнения.решение.  преобразуем исходное уравнение следующим образом: введем новую переменную    и получим уравнение  . решим полученное уравнение как квадратное относительно    или  .вернемся к переменной  .    получили четыре решения исходного уравнения. выберем наименьшее из них. так как  , то  , поэтому    – наименьшее решение.ответ:   .  пример 6.  решить уравнение.решение.  введём новую переменную  t=2x+1/(3x),  тогда получим3t2  + 10t  + 7 = 0.корни этого уравнения:   t1  = –1,  t2  = -7/3. рассмотрим два случая: а)  t  = –1;     2x+(3x)-1=-1; 6x2  + 3x  + 1 = 0; дискриминант меньше нуля – корней нет.б)  t=-7/3;     2x+(3x)-1=-7/3;     6x2  + 7x  + 1 = 0;   х  = –1 или  x=-1/6.ответ:   -1; -1/6.  пример  7.  решить уравнениерешение.  выделим в левой части уравнения полный квадрат и затем с замены переменной сведём его к квадратному уравнению.пусть новая переменная  t=x2/(x+2),  тогда получим после квадратное уравнение  t2  + 4t  = 5, корнями которого являются числа 1 и –5.рассмотрим два случая: а)  t  = 1;             ;                 x2  –  x  – 2 = 0;                 x1  = –1 или  x2  = 2.б)  t  = –5;           ;               x2  + 5x  + 10 = 0;             решений нет.ответ:   -1; 2.  пример  8.  решить уравнение.решение.  преобразуем это уравнение следующим образом: .выполним деление каждой дроби: ; ;   . к общему знаменателю и затем числитель: ,.отсюда следует ответ.ответ:   0; -5/2.                          для самостоятельного решения1.  решите уравнения методом разложения на множители: а)  x3  + 2x2  + 3x  + 6 = 0;                                 б)  x4  – 81 = 0; в)  x4  + 4x2  – 21 = 0;                                           г)  x4  – 8x  = 0; д)  x4  – 27x  = 0;                                                         е)  x3  – 3x  – 2 = 0; ж)  x3  – 19x  – 30 = 0;                                         з) 2x3  –  x2  – 1 = 0; и) 2x4  +x3  – 2x2  –  x  = 0.2.  решите уравнения методом введения новой переменной: а) (x2  – 3x)2  + 3(x2  – 3x) – 28 = 0; б) (x2  + 5x)2  –2(x2  + 5x) = 24; в) (x2  –2  x  – 1)2  + 3x2  – 6x  – 13 = 0; г) (x2  +  x  + 1)2  – 3x2  – 3x  – 1 = 0; д)  ; е)  ; ж)  .3.  решите уравнения методом введения новых переменных (в некоторых уравнениях вначале соответствующим образом сгруппируйте множители, а затем раскройте скобки): а) (2x2  – 3x  + 5)2  – 60(2x2  – 3x  + 5) = –500; б) (3x2  –  x  + 1)2  –5(3x2  –  x  + 1) – 6 = 0; в) (x2  +  x  + 1)·(x2  +  x  + 2) = 12; г) (x2  – 2x  – 4)·(x2  – 2x  – 3) = 2; д) (x  + 3)·(x  + 1)·(x  + 5)·(x  + 7) = –16; е) (x  + 3)·(x  + 1)·(x  + 2)·(x  + 4) = 3; ж) (x  – 2)·(x  + 1)·(x  – 6)·(x  – 3) = 13; з) (x  – 2)·(x  + 4)·(x  + 5)·(x  – 3) = 18.4.  решите уравнения: а)  ; б)  ; в)  ; г)  ; д)  ; е)  ; ж)  .5.  решите уравнения: а) (x  + 2)4  + (x  + 4)4  = 82; б) (x  – 3)4  + (x  + 1)4  = 256; в) (x  – 5)4  + (x  + 1)4  = 386; г) (x  + 5)4  + (x  + 3)4  = 16; д) (x  –1)5  + (x  + 3)5  = 242(x  + 1); е) (2x  – 3)4  + (2x  – 5)4  = 2.6.  решите уравнения: а)  ; б)  ; в)  ; г)  ; д)  ; е)  .  ответы

Х²+11х-30 < 0а= -1 в= 11 с= -30  д= в²-4ас=(-11)²-4·(-1)·(-30)=121-120=1> 0⇒2 корня       -в +/-√д           -11+/-√1           -11+/-1 х==       =           2а                     2·(-1)               -2           -11+1               10 х₁= = = -5               -2                   -2                 -11-1             -12 х₂=       = = 6                 -2               -2 ответ: -5 и 6