Натуральні числа m i n є такими, що кожне із чисел m - 4i n + 23 кратне 19. Доведіть, що число m + n також кратне 19.​

Мы имеем ограничения — корни и знаменатель. Проблема в том, что для числителя правой части сложно написать адекватное ОДЗ. А можно ли обойтись без него?

Оказывается, можно. Достаточно записать, что:

Возведём в квадрат обе части (так как они положительны, имеем право сделать это) и посмотрим, что получится:

Дробь положительна, если и числитель, и знаменатель имеют одинаковый знак. По ограничению, которое мы записали выше, знаменатель положителен, значит, числитель обязан быть положительным, то есть это страшное ОДЗ выполняется автоматически. Теперь можно решить получившееся неравенство:

Пересекая полученное решение с ограничениями, получим правильный ответ.

ответ:

1)
f(x) =((5-3x)^4)*(3x-1)³ ;
f '(x) =4( 5-3x)³ (5-3x) ' (3x-1)³ +(5-3x)^(4)*3(3x-1)² (3x-1)' = - 12(5-3x)³  (3x-1)³
+9(5-3x)^4 *(3x-1)² = (5-3x)³(3x-1)²(-12(3x-1) +9(5 -3x)) =  -3(5-3x)³(3x-1)²(21x - 19) ;
-3(5-3x)³(3x-1)²( 21x -19) < 0 ;
(5-3x)²(3x-1)² *(5-3x)(21x-19) >0;

         -                      +                       -                     +
1/3  19 /21 5/3
 
x∈ (1/3; 19/21) U (5/3; ∞). 
2) 
а)  y =(x+2)/√x ;
y=(√x +2/√x) ;
y ' =1/(2√x)  -1/√x³ 
б)  y=(x² -3)*(x+x³);
y '  =2x(x+x³) +(x² -3)(1+3x²);
y ' = 5x^4 - 6x² - 3.

y =x^5 - 2x³ -3x ;
y ' =5x^4 -6x²² -3 .