) Доведіть, що нерівність справджується при будь-якому значенні х.а) х2 +8х+20 >0, б) 512x-31Sr' +10.​

Дана функция у = (1/3)х³ - (3/2)х² - 4х + 10.

Исследование функций по схеме:

1. Область определения функции : ограничений нет, х ∈ R.

2. Непрерывность функции, вертикальные асимптоты: разрывов функции нет, значит, функция непрерывна.  Поэтому и вертикальных асимптот нет.

3. Точки пересечения функции с осями координат.

С осью Оу при х = 0. Это точка (0; 10).

С осью Ох при у = 0.  

Надо решить уравнение (1/3)х³ - (3/2)х² - 4х + 10 = 0.

Для решения кубического уравнения используем метод Кардано - Виета. Приводим его к виду  

х³ - 4,5х² - 12х + 30 = 0.  Делаем подстановку у = х – (а/3). Получаем уравнение неполного вида:

у3 + py + q = 0.  Корни вычисляются по тригонометрической формуле Виета.

Они являются абсциссами точек пересечения оси Ох:  

x₁ =  5,682681

x₂ =  -2,963867

x₃ =  1,781186

4. Четность, нечетность.

f(-х) у = (1/3)(-х)³ - (3/2)(-х)² - 4(-х) + 10 = у = -(1/3)х³ - (3/2)х² + 4х + 10 ≠ f(x), ≠ -f(x).  

Функция не чётная и не нечётная.

5. Периодичность: не периодическая.

6. Промежутки возрастания, убывания, экстремумы функции.

Находим производную: y' = ((1/3)х³ - (3/2)х² - 4х + 10)' = х² – 3x – 4.

Приравниваем её нулю: х² – 3x – 4 = 0.   D = 9 + 4*4 = 25.

x1 = (3 – 5)/2 = -1,   x2 = (3 + 5)/2 = 4.

Имеем 2 критических точки: х = -1 и х = 4.

Находим знаки производной на полученных промежутках.

х =      -2       -1          1         4       5

y' =      6         0          -6        0        6

Видим, что при прохождении через точкe х = 4 производная меняет знак с минуса на плюс, то есть это будет минимум, а при прохождении через точку х = -1  меняет знак с плюса на минус, соответственно это будет максимум.  

Промежутки возрастания (y' > 0): (-∞; -1) и (4; +∞).

Убывания: (-1; 4) .

7. Промежутки выпуклости, вогнутости, точки перегиба.

Вторая производная равна y'' = 2x - 3. Приравняем нулю:

2x - 3 = 0.     х = 3/2. Это и есть точка перегиба.

8. Наклонные асимптоты: нет.

9. Построение графика.  Таблица точек:

x y

-4 -19.3

-3 -0.5

-2 9.3

-1 12.2

0 10

1 4.8

2 -1.3

3 -6.5

4 -8.7

5 -5.8

6 4

7 22.8

========= 1 ========= 
График  - это парабола, с вершиной в точке (0;0). Она симметрична относительно оси OY. Ветви направлены вверх. Проходит через точки (0;0), (2;4), (-2;4)
График функции  - это прямая, для её построения достаточно 2х точек. Например (0;0) и (-2;4)

Точки пересечения: (0;0) и (-2;4)

========= 3 ========= 

График функции  - кубическая парабола. График симметричен относительно начала координат, т.е. точки (0;0). 
График функции - прямая, проходящая через точки (0;1), (1;4)

Приблизительные точки пересечения, исходя из графиков (-0,33; 0,01); (2,6; 8,8); (-2.2;-3,6)

========= 5 ========= 

График функции  - прямая, проходящая через точки (0;-2) и (1;0)
График функции  - парабола, с вершиной в точке (0;0), симметричная относительно OY. Ветви направлены вниз. 

Приблизительные точки пересечения, исходя из графиков (0,81; -0.38) и (-4,9;  -11.8)