1. Среди действительных чисел выберите иррациональное число7; √25; 1/8; 1, 6; √2. ​

Объяснение:

иррациональные: √2

потому что оно бесконечное

(x³ + 1)/(x + 1) + 3/(x² - x + 1) ≤ 4

одз x≠-1

да и сократим первyю дробь

(x² - x + 1) + 3/(x² - x + 1) ≤ 4

(x² - x + 1) всегда положителен D<0 и коэффициент при х^2 больше 0

приводим к общему знаменателю и отбрасываем его(он всегда положителен)

(x² - x + 1)²  - 4(x² - x + 1) + 3 ≤ 0

D = 16 - 12 = 4

(x² - x + 1)₁₂ = (4 +- 2)/2 = 1  3

(x² - x + 1 - 1)(x² - x + 1 - 3) ≤ 0

(x² - x)(x² - x - 2) ≤ 0

вторая скобка D=1+8 = 9  x12=(1+-3)/2 = 2  -1  x² - x - 2 = (x - 2)(x + 1)

x(x-1)(x-2)(x+1) ≤ 0

применяем метод интервалов

[-1] [0] [1] [2]

x ∈ [-1,0] U [1,2]

вспоминаем одз х≠-1

ответ x ∈ (-1,0] U [1,2]

1) cos(x/3) > √3/2
Если нарисовать тригонометрический круг и отметить точки, где
cos a = √3/2, то есть a1 = pi/6 + 2pi*k; a2 = -pi/6 + 2pi*k,
то станет понятно, что решение неравенства:
x/3 ∈ (-pi/6 + 2pi*k; pi/6 + 2pi*k)
x ∈ (-pi/2 + 6pi*k; pi/2 + 6pi*k)
Это решение приведено на рисунке 1.

2) 3ctg(pi/6 + x/2) > -√3
ctg(pi/6 + x/2) > -√3/3
Здесь лучше показать решение на графике котангенса, рис. 2.
ctg a = -√3/3; a = 2pi/3 + pi*k;
ctg a не определен (условно равен +oo) при a = pi*k
pi/6 + x/2 ∈(pi*k; 2pi/3 + pi*k)
x/2 ∈ (-pi/6 + pi*k; 2pi/3 - pi/6 + pi*k) = (-pi/6 + pi*k; pi/2 + pi*k)
x ∈ (-pi/3 + 2pi*k; pi + 2pi*k)