Найти точки экстремума функции y= 2x^3–24x+5 Развернутый ответ

Для нахождения точек экстремума данной функции, нам необходимо найти ее производную и приравнять ее к нулю. Точки, в которых производная равна нулю или не существует, могут быть точками экстремума функции.

1. Найдем производную функции y по x.
y' = 6x^2 - 24

2. Приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:
6x^2 - 24 = 0

Разделим обе части уравнения на 6:
x^2 - 4 = 0

x^2 = 4

Возьмем квадратный корень от обеих частей:
x = ±2

Таким образом, получаем две точки, в которых производная равна нулю: x = 2 и x = -2.

3. Для определения типа экстремума в найденных точках воспользуемся второй производной.
Найдем вторую производную функции y по x:
y'' = 12x

4. Подставим найденные значения x = 2 и x = -2 во вторую производную:
y''(2) = 12 * 2 = 24
y''(-2) = 12 * (-2) = -24

Если вторая производная больше нуля (y''(x) > 0), то это означает, что в данной точке функция имеет локальный минимум. Если же вторая производная меньше нуля (y''(x) < 0), то в данной точке функция имеет локальный максимум.

Анализируя полученные значения, можем сделать выводы:
- В точке x = 2 вторая производная равна 24, что больше нуля. Поэтому функция имеет локальный минимум в этой точке.
- В точке x = -2 вторая производная равна -24, что меньше нуля. Поэтому функция имеет локальный максимум в этой точке.

Таким образом, точки экстремума функции y = 2x^3 - 24x + 5: (2, -79) - локальный минимум, и (-2, 85) - локальный максимум.