решить контрольную по производной

Для решения задачи по производной, нам потребуется использовать правило дифференцирования сложной функции (правило цепной дроби).

Дано: f(x) = -2(x + 2)^3(x - 3)^2

Наша задача: найти производную функции f(x).

Шаг 1: Начнем с разложения данной функции по произведению:

f(x) = -2(x + 2)(x + 2)(x + 2)(x - 3)(x - 3)

Шаг 2: Теперь применим правило цепной дроби, чтобы найти производную f'(x).

f'(x) = -2[(x + 2)(x + 2)(x - 3)(x - 3)]' (взяли производные от каждого множителя)

Шаг 3: Найдем производные от каждого множителя, используя правило производной произведения:

-2[(x + 2)(x + 2)(x - 3)(x - 3)]' = -2[(x + 2)'(x + 2)(x - 3)(x - 3) + (x + 2)(x + 2)'(x - 3)(x - 3) + (x + 2)(x + 2)(x - 3)'(x - 3) + (x + 2)(x + 2)(x - 3)(x - 3)']

Шаг 4: Теперь найдем производные каждого множителя:

-2[(x + 2)'(x + 2)(x - 3)(x - 3) + (x + 2)(x + 2)'(x - 3)(x - 3) + (x + 2)(x + 2)(x - 3)'(x - 3) + (x + 2)(x + 2)(x - 3)(x - 3)']

-2[1 * (x + 2)(x - 3)(x - 3) + (x + 2) * 1 * (x - 3)(x - 3) + (x + 2)(x + 2) * 1 * (x - 3) + (x + 2)(x + 2)(x - 3) * 1]

Шаг 5: Упростим получившееся выражение:

-2[(x + 2)(x - 3)(x - 3) + (x + 2)(x - 3)(x - 3) + (x + 2)(x + 2)(x - 3) + (x + 2)(x + 2)(x - 3)]

Шаг 6: Раскроем скобки:

-2[x^2 - 3x + 2x + 4(x - 3) + x^2 - 3x + 2x - 3(x + 2) + x^2 + 4(x + 2) - 3(x + 2)]

Шаг 7: Упростим получившееся выражение:

-2[x^2 - 3x + 2x - 12 + x^2 - 3x + 2x - 6 + x^2 + 4x + 8 - 3x - 6]

Шаг 8: Раскроем скобки и соберем подобные слагаемые:

-2[3x^2 - 2 - 7x] = -6x^2 + 4 + 14x

Таким образом, производная функции f(x) равна f'(x) = -6x^2 + 14x + 4.