Решите уравнение 7cos4x-12sin^2x+5=0

Хорошо, давайте решим это уравнение шаг за шагом.

Начнем с уравнения:
7cos(4x) - 12sin^2(x) + 5 = 0

Для удобства, заменим sin^2(x) на 1 - cos^2(x). Тогда уравнение примет вид:
7cos(4x) - 12(1 - cos^2(x)) + 5 = 0

Раскроем скобки:
7cos(4x) - 12 + 12cos^2(x) + 5 = 0

Упростим:
12cos^2(x) + 7cos(4x) - 7 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение относительно cos(x).
Для этого введем замену: t = cos(x).

Уравнение приобретает вид:
12t^2 + 7cos(4x) - 7 = 0

Решим это уравнение с помощью квадратного трехчлена.
Дискриминант D = b^2 - 4ac:
D = 7^2 - 4(12)(-7) = 49 + 336 = 385

Так как D > 0, у нас есть два корня. Формула для нахождения корней:
t = (-b ± √D) / (2a)

t1 = (-7 + √385) / (2 * 12) ≈ -0.518
t2 = (-7 - √385) / (2 * 12) ≈ 1.185

Теперь найдем значения x, подставляя найденные t в исходное уравнение:
1) t = cos(x), поэтому cos(x) ≈ -0.518
Найдем значение x в диапазоне [0, 2π]:
x = arccos(-0.518) ≈ 2.098

2) t = cos(x), поэтому cos(x) ≈ 1.185
Найдем значение x в диапазоне [0, 2π]:
x = arccos(1.185) ≈ NaN (значение не существует в этом диапазоне)

Таким образом, решение уравнения 7cos(4x) - 12sin^2(x) + 5 = 0 имеет одно решение:
x ≈ 2.098.