14. Миша играет в компьютерную игру. Он начинает со очков, а для перехода на следующий уровень ему нужно набрать не менее 10 000 очков. После первых двух минут игры добав- ляется 2 очка, после следующих двух — 4 очка, после следующих двух — восемь очков и так далее. Таким образом, после каждых двух минут игры количество добавляемых оч- ков удваивается. Через сколько минут Миша перейдёт на следующий уровень? И объяснение

Пусть
а1 = 2 - количество очков, набранных за первую минуту игры,
а2 = 4 - количество очков, набранных за вторую минуту,
а3 = 8 - количество очков, набранных за третью минуту,
.......
an - количество очков, набранных за последнюю минуту.
Количество очков постоянно удваивается, значит дело мы имеем с геометрической прогрессией со знаменателем q = 2.
Каждую минуту очки суммируются, т.е. актуальна будет формула суммы первых n членов прогрессии. Формула выглядит так:
Sn=b1(q^n-1)/q-1, q не равно 1.
К тому же, эта сумма должна быть не меньше 10 000.
Подставляя известные величины в формулу, получим такое неравенство:
2(2^n-1)/2-1>10 000
2^n-1>5000
2^n>5001
Ничего не остается, как вручную подобрать n.
При n = 13 выражение 2n будет больше 5001 (2^13 = 8192). Это значит, что через 13 минут Митя наберет больше 10 000 очков и перейдет на следующий уровень.