за уравнение: sin3x + √3cos3x = 2cos5x

Доказательство можно провести по индукции.
Шаг 1. При n = 1 имеем 1 * 2 * 3 = (1 / 4) * 1 * 2 * 3 * 4 - верно.
Шаг 2. Предположим, что данное равенство верно, при n = k, то есть:
1 * 2 * 3 + 2 * 3 * 4 + ... + k * (k + 1) * (k + 2) = (1 / 4) * k * (k + 1) * (k + 2) *
(k + 3) - верно. 
Шаг 3. Докажем верность равенства для n = k + 1. Имеем:
1 * 2 * 3 + 2 * 3 * 4 + ... + k * (k + 1) * (k + 2) + (k + 1) * (k + 2) * (k + 3) = 
(1 / 4) * (k + 1) * (k + 2) * (k + 3) * (k + 4). Перенесём последнее слагаемое левой части вправо с обратным знаком, а в правой части раскроем скобки последнего множителя (k + 4) почленно перемножив:
1 * 2 * 3 + 2 * 3 * 4 + ... + k * (k + 1) * (k + 2) = 
((1 / 4) * k * (k + 1) * (k + 2) * (k + 3)) +
((1 / 4) * 4 * (k + 1) * (k + 2) * (k + 3) - (k + 1) * (k + 2) * (k + 3)). Заметим, что в правой части второе слагаемое равно 0, а оставшееся равенство верно по предположению Шага 2. Доказано.