Найти общее решение дифференциального уравнения: y''-2y'+5y=cos(7x)

y''-2y+5y=0

k^2-2k+5=0

уравнение имеет комплексные корни

k1=1+2i

k2=1-2i

общее решение.(cм. в частности пискунов дифференциальное и интегральное исчисление т.2) там же есть решение подобного уравнения

y=e^x(c1cos2x+c2sin2x)

y1=e^x*cos2x      y1'=e^x*cos2x-2*e^x*sin2x

y2=e^x*sin2x      y2'=e^xsin2x+2e^xcos2x

решаешь систему

с1'y1+c2'y2=0

c1'y1'+c2'y2'=cos7x

находишь с1 и с2 как функции от x.

cумма частного решения и ощеггорешения однородного уравнения и есть окончательный ответ.

 

итак получается ответ

  y(x) = exp(x)*sin(2*x)*_c2+exp(x)*cos(2*x)*_c1-(11/533)*cos(7*/1066)*sin(7*x)

3/   y'=2x+2     2x+2=0     x=-1     убывает   x< 1           возрастает x> 1 4/   y'=2x+12   2x=-12   x= -6       убывает   x< -6         возрастает x> -6 5/ y'=3x²-3=3(x+1)(x-1) -   возрастает     x< -1 и x> 1 ; убывает     -1 < x< 1       +               -               + 7/ y'=6x²-6x+36=0   x²-x+6=0   корней нет, d< 0     у' не меняет знака посчитаем y' в любой точке, скажем х=0   y'=36 у возрастает на всей оси.

|x²+x-3|=x очевидно, что х≥0 решим уравнение x²+x-3=0d=1+4*3=13x₁=(-1-√13)/2x₂=(-1+√13)/2 x²+x-3=(x- (-1-√13)/+√13)/2)=(x+(1+√13)/+(1-√13)/2) поэтому при x∈(-∞; - (1+√13)/2]∪[(√13 -1)/2; +∞)   x²+x-3≥0учитывая, что х≥0, рассмотрим два интервала 1. x∈[0; (√13 -1)/2)  x²+x-3< 0,поэтому |x²+x-3|=-( x²+x-3) -(x²+x-3)=x -x²-x+3=x x²+2x-3=0d=4+4*3=16x₁=(-2-4)/2=-3 < 0 выпадает из интервалаx₂ =(-2+4)/2=1 подходит2. x∈ [(√13 -1)/2; +∞),  x²+x-3≥0|x²+x-3|= x²+x-3 x²+x-3=xx²=3x₁=-√3 < 0 выпадает из интервалаx₂= √3 > (√13 -1)/2  подходит ответ: 1 и √3 |3x²-x|=8+xx≥-8 3x²-x=x(3x-1)при x∈(-∞; 0]∪[1/3; +∞)    3x²-x≥0 рассмотрим два интервала 1. x∈[0; 1/3)  3x²-x < 0,поэтому |3x²-x|=-(3x²-x) -(3x²-x)= 8+x-3x²+x=8+x 3x²=-8  решения нет 2. x∈[-8; 0]∪[1/3; +∞)    3x²-x≥0 поэтому |3x²-x|=3x²-x 3x²-x=8+x 3x²-2x-8=0 d=4+4*3*8=100 x₁=(2-10)/6=-4/3=-1 1/3 x₂=(2+10)/6=2 ответ: -1 1/3 и 2 |x³-x|=x+4x≥-4x³-x=x( x²-1)=x(x-1)(x+1) при x∈[-1; 0]∪[1; +∞] x³-x≥0 рассмотрим два интервала 1. x∈[-4; -1)∪(0; 1)  x³-x< 0 |x³-x|=-( x³-x)-( x³-x)=x+4-x³+x=x+4x³=-4x=-∛3 2.  x∈[-1; 0]∪[1; +∞]   x³-x≥0 |x³-x|=x³-x x³-x=x+4 x³-2x-4=0 x=2 ответ: -∛3 и 2