Tgx+3ctgx=4 решить! тригонометрическое ур_е

известно, что ctg x = 1 / tg x. в связи с этим, перепишем уравнение так:

 

tg x + 3 / tg x - 4 = 0

введём замену. пусть tg x = a, причём a ≠ 0

 

a + 3/a - 4 = 0

(a² + 3 - 4a) / a = 0

  из свойств дроби, равной нулю, вытекает, что

 

a² - 4a + 3 = 0 (1)

a ≠ 0

 

a² - 4a + 3 = 0

a1 = 3; a2 = 1

данное дробно-рациональное уравнение имеет корни 3 и 1.теперь:

 

tg x = 3                                                        или                                                                            tg x = 1

x = arctg 3 + πn,n∈z                                                   x = π/4 + πk,k∈z

 

A) квадратное уравнение имеет два различных корня когда дискриминант больше нуля. (2p + 8)x² + 4px + 4 = 0 d = (4p)² - 4 * 4 * (2p + 8) = 16p² - 32p - 128 16p² - 32p - 128 > 0 p² - 2p - 8 > 0 (p - 4)(p + 2) > 0   +      - 2            -                4          + p ∈ (- ∞ ; - 2) ∪ (4 ; +∞) б) квадратное уравнение не имеет корней, когда дискриминант меньше нуля (p - 4)(p + 2) < 0 p ∈ (- 2; - 4) - рисунок сверху в) квадратное уравнение имеет один корень когда дискриминант равен нулю. (p - 4)(p + 2) = 0 ответ: - 2; 4

1) пусть число sqrt(2 + sqrt(2)) — рациональное. тогда и его квадрат 2 + sqrt(2) рационален. но это не так, 2 + sqrt(2) — сумма рационального и иррационального чисел. противоречие. (доказательство иррациональности числа sqrt(2): пусть sqrt(2) = m/n, m/n - несократимая дробь, m,n — натуральные числа. возводим в квадрат, домножаем на n^2, получаем m^2 = 2n^2, откуда m — чётное. пусть m = 2m. подставляем, сокращаем на 2, получаем n^2 = 2m^2, откуда n — тоже чётное, что противоречит предположению о несократимости дроби m/n) 2) пусть число sqrt(5) + sqrt(2) - 1 рациональное, тогда и sqrt(5) + sqrt(2) тоже рациональное, и (sqrt(5) + sqrt(2))^2 = 5 + 2 + 2sqrt(10) = 7 + 2 sqrt(10) рациональное, тогда и sqrt(10) тоже рациональное. но sqrt(10) — иррациональное, противоречие. значит, sqrt(5) + sqrt(2) - 1 — иррациональное. иррациональность sqrt(10) доказывается аналогично: sqrt(10) = m/n, m^2 = 10n^2. дальше можно, наример, точно так же, как и в примере выше, доказать, что m и n должны быть чётными.