Исследуйте последовательность xn=(3n-1)/3 на ограниченность и монотонность

      xn=3n-1/3

3(3n-1)/9=0

9n-9=0

9(n-1)=0

n-1=0

n=1

      выходит функция   возрастает на   интервале   [1; +oo)

убывает   (-oo; 1] 

1) монотонность: можно определить через разность x(n+1)-x(n)> 0 - последовательность монотонно возрастает x(n+1)-x(n)< 0 - последовательность монотонно убывает или через отношение x(n+1)/x(n) x(n+1)/x(n) в сравнении с единицей

2) ограниченность n пробегает натуральный ряд, поэтому посл-ть ограничена снизу

сложим первое уравнение,домноженное на 2 со вторым:

очевидно,что x и y не обращаются в ноль,так как число 19 простое и не имеет делителей на интервале (1; 19)

значит:

из полученных отрезков лишь пара значений модулей удовлетворяет нашему уравнению:

осталось лишь раскрыть модуль,сделаем это следующим образом:

рассмотрим полиномы вида:

подставим модули корней под степени 2,так как они являются четными и не меняют значение:

очевидно,что для старших мономов вида обоих полиномов для обращения последних в ноль определен отрицательный знак.это выполнимо в случае только одного отрицательного и одного положительного переменного.

значит возможные целочисленные значения решения исходной системы:

 

 

4x^2=c    3x+a=b    тогда  c^3+c=b^3+b    c^3-b^3=-(c-b)    (c-b)(c^2+cb+b^2)+(c-b)=0    (c-b)(c^2+cb+b^2+1)=0  {c=b  {c^2+cb+b^2+1 = 0    c^2+cb+b^2=0      d=b^2-4b^2< 0    значит c^2+cb+b^2> 0    откуда c^2+cb+b^2+1> 0    значит      1)   4x^2=3x+a    4x^2-3x-a=0    d=9+16a< 0    a< -9/16