:разность двух чисел равна 8 . каковы должны быть эти числа, чтобы произведение куба первого числа на второе было наименьшим?

числа   x ; x+8   разность чисел   (x+8) - x =8

произведение куба первого числа на второе   x^3*(x+8)   -это функция

f(x)=x^3*(x+8)=x^4+8x^3

берем производную  f(x) ' =4x^3+24x^2

приравниваем к 0 ,   находим критические точки

4x^3+24x^2 =0

4x^2 (x+6)=0

критические точки

x1=0    

x2=-6      

экстремумы функции

f(0) = 0^4+8*0^3 =0                   локальный минимум

f(-6) = (-6)^4+8*(-6)^3 = - 432   наименьшее значение функции

искомые числа

x = -6 

x+8 = -6 + 8 = 2

 

ответ   -6 ; 2

4sinxcosx -3sin²x =1 ; 4sinxcosx - 3sin²x =sin²x +cos²x ; 4sin²x   - 4sinxcosx +cos²x =0 ; (2sinx -cosx)² =0 ; 2sinx -cosx = 0 ; cosx =2sinx   ||    разделим обе части на  sinx  ≠0 ; * * *противном случае(sinx  =0)получилось  бы и  cosx  =0, но  sin²x+cos²x =1* * * ctqx =2  ; x =arcctq2 +πn ,n∈z . ответ:   arcctq2 +πn ,n∈z . * * * * * * *  как не надо решать (нерационально) * * * * * * * 4sinxcosx - 3sin²2x =1     ; 2sin2x -3(1 -cos2x)/2 =1 ; 4sin2x   +3cos2x =4 ;   * **  4sin2x   +3cos2x =√(4²+3²/5)*sin2x +(3/5)*cos2x  )= 5(cosα*sin2x +sinα*cos2x)=  5sin(2x +α) ,где  α =arctq(3/4)   или  α =arcsin(3/5)* * * 5sin(2x +α) =4 ; sin(2x +α) =4/5 ; 2x+α =(-1)^(n) arcsin(4/5) +π*n , n∈z ; 2x= -α+  (-1)^(n) arcsin(4/5) +π*n , n∈z ; x= -α/2+ (1/2)*(-1)^(n) arcsin(4/5) +π/2*n , n∈z. ответ:     -1/2 arcsin (3/5) + (1/2)*(-1)^(n) arcsin(4/5) +π/2*n , n∈z .

Х^2+4х+5> =2|х+2|, найдите значения х,при которых левая часть неравенства равна правой======================== x² +4x +5 =2|x+2| а)    x < -2 . x² + 4x +5 =  -2(x+2) ; x² +6x +9 =0 ; (x+3)² = 0 ; x = -3. б)    x ≥  -2 . x² + 4x +5 = 2(x+2) ; x² + 2x +1 =0    ; (x+1)² = 0 ; x =   -  1. ответ  :   -  3   ; -1. *  * *  *  * * *   ! ! !   более рационально   *  *  *  *  * * * (x +2)² +1 =2|x+2| ; |x+2|² - 2|x+2| +1 = 0 ; (| x+2| -1)² =0 ; |x+2| -1   =0 ; |x+2|   =  1 ⇔  [ x+2 = -1 ; x+2 =1.(совокупность уравнений) [ x =-  3 ; x = -1.