Первая труба наполняет бассейн за 9 часов. за сколько часо заполнит бассейн вторая труба, если известно, что она пропускает в полтора раза больше воды, чем первая?

за 6 часов. это доказывается так: первая за час напорняет 1/9 часть бассейна. следовательно, вторая труба наполняет за час (1/9)*1,5 = 1/6 часть бассейна. время заполнения ьассейна второй трубой 1/(1/6) = 6 часов. интерес вызывает обычно другой вопрос, за сколько зальют вместе. тогда общая производительность: 1/9 + 1/6 = 5/18, а время заполнения: 1 / (5/18) = 18/5 часа = 3 часа 36 минут

Если данные ч етыре числа прогрессию, тогда их можно представить  соответственно так:     b₁ ;   b₁q ;   b₁q² ; b₁q³

вычтем соответственно числа 2; 1; 7; 27 и получим первые четыре числа арифметической прогрессии:  

a₁ = b₁ - 2 a₂ = b₁*q - 1 

a₃ = b₁*q² - 7 

a₄ = b₁*q³ - 27

по свойствам арифметической прогрессии каждый её член, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних членов.

применим это свойство для второго члена а₂

а₁+а₃=2а₂

подставим вместо а₁ ; а₂ ; а₃  их зачения. b₁ - 2 + b₁q² - 7 = 2*(b₁q -1 )

b₁ - 2*b₁·q + b₁*q² = 2 + 7- 2 

b₁·(1-2q+q²) = 7 

b₁*(1-q)² = 7 

b₁ = 7/(1-q)²

умножим обе части  на q.

b₁q = 7q/(1-q)²    (это первое уравнение)

теперь применим это свойство для третьего члена а₃

а₂+а₄=2*а₃ 

b₁*q - 1 + b₁*q³ - 27 = 2*(b₁q²  -7) 

b₁q - 2*b₁q²  + b₁q³  = 1+27-14 

b₁q*(1-q)² = 14 

b₁q = 14/(1-q)²  (второе уравнение)

в первом и во втором уравнениях  левые части равны, значит, равны их правые части 7q/(1-q)² = 14/(1-q)² 

q = 2

b₁  = 7/(1-q)²

b₁= 7/(1-2)² 

b₁= 7/1

b₁ = 7

при b₁ = 7  и    q = 2    легко найти первые четыре числа, которые представляют прогрессию.

b₁ = 7 b₂  = b₁*q      =>         b₂ = 7*2      =>       b₂ = 14 

b₃ = b₁*q²      =>         b₃ = 7*4      =>     b₃ = 28 

b₄ = b₁*q³      =>         b₄ = 7*8      =>     b₄ = 56

  7; 14; 28; 56 - искомые числа.

проверим дадут ли они арифметическую прогрессию если от них соответственно отнять 2,1,7 и 27.

a₁ = b₁ - 2        =>       a₁ = 7 - 2      =>         a₁ = 5 a₂  = b₂ - 1          =>     a₂ = 14-1          =>       a₂ = 13

a₃ = b₃ - 7            =>     a₃ = 28 - 7        =>       a₃ = 21

a₄ = b₄ - 27            =>     a₄  = 56 - 27      =>     a₄ = 29

  числа 5;   13;   21;   29 действительно арифметическую прогрессию. 

ответ: 7;   14;   28;   56 - данные числа

  2)  59!   можно разложить на простые      59! = 2^47 * 3^27 * 5^13 * 7^9 * 11^5 * 13^4 * 17^3 * 19^3 * 23^2 * 29^2 * 31 * 37 * 41 * 53 * 59  наименьшее кратный делитель будет следующее простое число, то есть n=61.    5)    p(x)=x^2-1001x+1      p(p(x))=0      p(p(x))=(x^2-1001x+1)^2-1001(x^2-1001x+1)+1              p(p(x))=f(x)    f ' (x) =  2(x^2-1001x+1)*(2x-1001) - 1001*(2x-1001) = 0    f ' (x) = 0    (2x-1001)(2x^2-2002x-999)=0    x=1001/2    x=(1001+/-√1003999)/2  откуда получаем что функция возрастает на интервале    ( (1001-√1003999)/2 , 1001/2) u ( (1001+√1003999)/2 , +oo)  убывает на интервале    ( -oo, (1001-√1003999)/2 )  u ( 1001/2 , (1001+√1003999)/2 )    производная в точке  x0=(1001-√1003999)/2) слева на право от нее меняется знак с на (+),  в точке x0=(1001+√1003999)/2 слева на право меняется знак с на (+),    значит в этих двух точках функция имеет минимум, который при подстановке в функцию, примет значение f(x0)< 0.   так как данное уравнение, уравнение четвертой степени, то максимальное количество корней она имеет 4 , из исследования монотонности функции , получаем что f(x) имеет ровна 4 различных вещественных корня.    по теореме виета для четвертой степени , сумма всех корней равна отношению коэффициентов перед x^3 и x^4    значит надо рассмотреть только одну скобку      (x^2-1001x+1)^2 = x^4-2002x^3+q(x)      x1,x2,x3,x4 корни уравнения f(x)   откуда x1+x2+x3+x4=/1)=2002.