При каких значениях а уравнения ах^2 - 6х + а имеет два различных корня?

воспользуемся формулой для поиска корней уравнения:

ax^2+bx+c=0

x1=

x2=

пойдем от противного и приравняем корни х1 и х2:

(6+)\2a=(6-)\2a

сократим:

(6+)=(6-)

=-

они могут быть равны только при обоих частях равных 0, соответственно нужно:

36-4а^2=0

a^2=9

a1=3

a2=-3

но корень не может быть отрицательным, соответственно есть ограничение:

36-4а^2> 0

соответственно а должно лежать в интервале (-3,3)

ответ: уравнение будет иметь разные корни при а=(-3,3)

Площадь  δoab равна половине произведения основания ob на высоту h, опущенную из a на ob. ob не меняется, поэтому нужно минимизировать высоту. для нахождения высоты можно воспользоваться формулой расстояния от точки до прямой, но, боюсь, ее не все знают. лучше поступим так: найдем на параболе точку, касательная в которой параллельна ob. эта точка и будет требуемой точкой a. y'=x/4  -1/2; приравниваем к тангенсу угла наклона ob, равному  1/2: x/4-1/2=1/2; x=4; y=16/8-4/2+6=6; a(4; 6)  осталось найти площадь. из всех возможных способов выберем "самый школьный". рисуем прямоугольник, внутри которого лежит наш треугольник, и отсекаем от него все лишнее. прямоугольник ограничен осями координат, прямой x=6 и прямой y=6. его площадь равна 36. три "лишних" треугольника имеют площади  (1/2)·4·6=12; (1/2)·6·3=9; (1/2)·2·3=3, в сумме 24. вычитая из 36 лишние 24, получаем ответ 12 

1) 5х(2х+1)=0; х1=0; 2х+1=0, 2х=-1, х2= -1/2; 2) 3х(4х+1)=0; х=0; 4х+1=0, 4х=-1, х2=-1/4; 3) х(х-10)=0; х1=0; х2=10; 4) 3х(х-4)=0; х1=0; х2=4; 5) 4х(х+5)=0; х1=0; х2=-5; 6) (5-10х)(5+10х)=0; а) 5-10х=0; 10х=5; х1=5/10=0,5; б) 5+10х=0; 10х=-5; х2=-5/10= -0,5; 7) (2-6х)(2+6х)=0; а) 2-6х=0; 6х=2; х1=2/6=1/3; б) 2+6х=0; 6х=-2; х2=-2/6= -1/3; 8) 2х^2=14; х^2=7; извлекаем корень; х=+-(7^1/2); х1= 7^1/2; х2= -(7^1/2); 9) 3(х^2-25)=0; 3(х-5)(х+5)=0; х1=5; х2=-5; 10) 3(9-х^2)=0; 3(3-х)(3+х)=0; х1=3; х2=-3; 11) х^2+3/2х-5/2=0; х^2+2*3/4х+9/16-9/16-5/2=0; (х+3/4)^2=9/16+40/16; (х+3/4)^2=49/16; извлекаем корень; (х+3/4)=+-7/4; х1=-3/4-7/4=-10/4=-5/2=-2,5; х2=-3/4+7/4=4/4=1; 12) 5х^2-5х-2х+2=0; 5х(х-1)-2(х-1)=0; (х-1)(5х-2)=0; х1=1; 5х=2, х2=2/5=0,4; 13) 3х^2+6х-х-2=0; 3х(х++2)=0; (х+2)(3х-1)=0; х1=-2; 3х=1, х2=1/3; 14) 2х^2-6х-х+3=0; 2х(х--3)=0; (х-3)(2х-1)=0; х1=3; 2х=1, х2=1/2; 15) 5х^2-5х+2х-2=0; 5х(х-1)+2(х-1)=0; (х-1)(5х+2)=0; х1=1; 5х=-2; х2=-2/5=-0,4; 16) -х^2+8х-х+8=0; -х(х--8)=0; (х--1)=0; х1=8; -х=1, х2=-1; 17) 5х^2-10х+2х-4=0; 5х(х-2)+2(х-2)=0; (х-2)(5х+2)=0; х1=2; 5х=-2, х2=-2/5= - 0,4; 18) 7х^2+7х+2х+2=0; 7х(х+1)+2(х+1)=0; (х+1)(7х+2)=0; х1=-1; 7х=-2, х2=-2/7; 19) 5х^2+4х^2-6х+1=0; 9х^2-2*3х+1=0; (3х-1)^2=0; 3х-1=0, х=1/3; 20) 2х^2-3х-4х+3=0; 2х^2-7х+3=0; 2х^2-6х-х+3=0; 2х(х--3)=0; (х-3)(2х-1)=0; х1=3; 2х-1=0, 2х=1, х2=1/2=0,5.