Укажите, какие из данных бесконечных десятичных дробей выражают иррациональные числа 1) о, 2) 9, - annakuzina2023

Ответы

мурувватовна викторович569

23.07.2022

распишем сначала сумму для удобства и потом подсчитаем предел

$\dfrac{1}{a_1a_2}+\dfrac{1}{a_2a_3}++\dfrac{1}{a_na_{n+1}}=\dfrac{1}{d}\left(\dfrac{d}{a_1a_2}+\dfrac{d}{a_2a_3}++\dfrac{d}{a_na_{n+1}}\right)=\\ \\ \\= \dfrac{1}{d}\left(\dfrac{d}{a_1(a_1+d)}+\dfrac{d}{(a_1+d)(a_1+2d)}++\dfrac{d}{(a_1+(n-1)d)(a_1+nd)}\right)=\\ \\ \\ =\dfrac{1}{d}\bigg(\dfrac{a_1+d-a_1}{a_1(a_1+d)}+\dfrac{a_1+2d-(a_1+d)}{(a_1+d)(a_1+2d)}++\dfrac{a_1+nd-(a_1+(n-1)d)}{(a_1+(n-1)d)(a_1+nd)}\bigg)=$

$=\dfrac{1}{d}\bigg(\dfrac{1}{a_1}-\dfrac{1}{a_1+d}+\dfrac{1}{a_1+d}-\dfrac{1}{a_1+2d}++\dfrac{1}{a_1+(n-1)d}-\dfrac{1}{a_1+nd}\bigg)=\\ \\ \\ =\dfrac{1}{d}\cdot \left(\dfrac{1}{a_1}-\dfrac{1}{a_1+nd}\right)$

переходя к пределу при $n\to \infty$ мы получим

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\dfrac{1}{d}\left(\dfrac{1}{a_1}-\dfrac{1}{a_1+nd}\right)=\dfrac{1}{a_1d}$

ответ: $\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(\dfrac{1}{a_1a_2}+\dfrac{1}{a_2a_3}++\dfrac{1}{a_na_{n+1}}\right)=\dfrac{1}{a_1d}$

tanyatanyat

23.07.2022

в равенстве слева сумма имеет общий член $a_n=(n+1)(3n-1)$

1) базис индукции: $n=1$

$(1+1)\cdot (3\cdot 1-1)~=4=\dfrac{2\cdot 1^2+5\cdot 1+1}{2}=4$

2) предположим, что и для $n=k$ верно равенство

$2\cdot 2+3\cdot 5++(k+1)(3k-1)=\dfrac{k(2k^2+5k+1)}{2}$

3) индукционный переход: $n=k+1$

$\underbrace{2\cdot 2+3\cdot 5++(k+1)(3k-1)}_{\frac{k(2k^2+5k+1)}{2}}+(k+2)(3k+2)=\\ \\ \\ =\dfrac{(k+1)(2(k+1)^2+5(k+1)+1)}{2}\\ \\ \\ \dfrac{k(2k^2+5k+1)}{2}+(k+2)(3k+2)=\dfrac{(k+1)(2k^2+4k+2+5k+5+1)}{2}\\ \\ \\ \dfrac{2k^3+5k^2+k}{2}+3k^2+8k+4=\dfrac{(k+1)(2k^2+9k+8)}{2}\\ \\ \\ \dfrac{2k^3+5k^2+k+6k^2+16k+8}{2}=\dfrac{2k^3+9k^2+8k+2k^2+9k+8}{2}$

$\dfrac{2k^3+11k^2+20k+8}{2}=\dfrac{2k^3+11k^2+17k+8}{2}$

равенство верно для всех натуральных n. что и требовалось доказать.

Ответить на вопрос

Поделитесь своими знаниями, ответьте на вопрос:

Укажите, какие из данных бесконечных десятичных дробей выражают иррациональные числа 1) о, 2) 9, 3) 3, 4) 0, 5) 1, 058058

Укажите, какие из данных бесконечных десятичных дробей выражают иррациональные числа 1) о, 2) 9, 3) 3, 4) 0, 5) 1, 058058

Ответы

Ответить на вопрос

Ваше имя (никнейм)*

Email*

Комментарий*

Популярные вопросы в разделе

Упрости выражение и найди его значение при n=11. 3n(3n+3)−(3n−3)(3+3n

найдите значение выражения 6 а в квадрате по всё это в кубе деленное на А в шестой степени плов 4 степени при А равен 3 4, 48 и равную 2

После подобных слагаемых 2, 8c+z+z−9, 33c, получаем

Преобразуйте в дробь выражение (2х-3, 2)^-1×8x-3y

Надо ! 1 : доказать что неравенство верно при любых значениях а: (а-9)(а+3)< (а-7)(а+1) 2 : найти все целые числа являющиеся решением неравенств |5х+2|меньше равно 3

Упростите выражение ! (m+n)/(m-n) + ( m-n)/(m-n) (ГДЕ СТОИТ ЗНАК / ТАМ ДРОБЬ!)

Вычислите числовое значение выражения 1. 1)a+bc при а=-1, b=3 , с=0 ; 2)a-bc при а=2 b=-1 c=-3; 3) (a+b)с при а=1, b=-3, c=2; 4) (a-b)c при a=3, b=1, 2, c=5; 5) (a-b)+(c-d) при а=4, b=2, c...

Найти нули функции, если y=корень из x^2-1

Представьте каждую периоическую дробь в виде обыкновенной дроби 0, 0(3) 0.0(72) 0.0(549)

паралелограм abcd-паралельна проекція квадрата, точка м лежить на стороні сd. побудуйте проекцію перпендикуляра, проведеного з точки м до діагоналі bd.

Найдите область определения функции и область значений: y = 1+tgx

ФОТКА ВНИЗУ НАДЕЮСЬ НА ТЕБЯ! ЖДУ РЕШЕНИЕ. ЗДЕСЬ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Найдите производную функции: а) у=х5; б) у=3 г) у=3 – 2х е) y=x cosx з) у=(3х + 5)4

Укажите, какие из данных бесконечных десятичных дробей выражают иррациональные числа 1) о, 2) 9, 3) 3, 4) 0, 5) 1, 058058

Ответы

Ответить на вопрос

Ваше имя (никнейм)*

Email*

Комментарий*

Популярные вопросы в разделе

Упрости выражение и найди его значение при n=11. 3n(3n+3)−(3n−3)(3+3n

найдите значение выражения 6 а в квадрате по всё это в кубе деленное на А в шестой степени плов 4 степени при А равен 3 4, 48 и равную 2 ​

После подобных слагаемых 2, 8c+z+z−9, 33c, получаем

Преобразуйте в дробь выражение (2х-3, 2)^-1×8x-3y​

Надо ! 1 : доказать что неравенство верно при любых значениях а: (а-9)(а+3)&lt; (а-7)(а+1) 2 : найти все целые числа являющиеся решением неравенств |5х+2|меньше равно 3

Упростите выражение ! (m+n)/(m-n) + ( m-n)/(m-n) (ГДЕ СТОИТ ЗНАК / ТАМ ДРОБЬ!)

Вычислите числовое значение выражения 1. 1)a+bc при а=-1, b=3 , с=0 ; 2)a-bc при а=2 b=-1 c=-3; 3) (a+b)с при а=1, b=-3, c=2; 4) (a-b)c при a=3, b=1, 2, c=5; 5) (a-b)+(c-d) при а=4, b=2, c...

Найти нули функции, если y=корень из x^2-1

Представьте каждую периоическую дробь в виде обыкновенной дроби 0, 0(3) 0.0(72) 0.0(549)

паралелограм abcd-паралельна проекція квадрата, точка м лежить на стороні сd. побудуйте проекцію перпендикуляра, проведеного з точки м до діагоналі bd.

Найдите область определения функции и область значений: y = 1+tgx​

ФОТКА ВНИЗУ НАДЕЮСЬ НА ТЕБЯ! ЖДУ РЕШЕНИЕ. ЗДЕСЬ АЛГЕБРА И ГЕОМЕТРИЯ

Найдите производную функции: а) у=х5; б) у=3 г) у=3 – 2х е) y=x cosx з) у=(3х + 5)4

найдите значение выражения 6 а в квадрате по всё это в кубе деленное на А в шестой степени плов 4 степени при А равен 3 4, 48 и равную 2

Преобразуйте в дробь выражение (2х-3, 2)^-1×8x-3y

Надо ! 1 : доказать что неравенство верно при любых значениях а: (а-9)(а+3)< (а-7)(а+1) 2 : найти все целые числа являющиеся решением неравенств |5х+2|меньше равно 3

Найдите область определения функции и область значений: y = 1+tgx