Дано клеточное поле 2 × 3. сколькими способами можно закрасить клетки этого поля так, чтобы никакие 2 закрашенные клетки не были соседними (по стороне)?

странная

если максимальное количество, то способ только один - в шахматном порядке

а если сколько угодно, тогда так. обозначим клетки как в шахматах: строки 1,2,3, столбцы а и в.1) 0 клеток закрашено - 1 способ2) 1 клетка закрашена - 2 принципиально разных способа - а1 и а2.3) 2 клетки закрашены - а1 и а3, а1 и в2, а1 и в3 - 3 способа4) 3 клетки закрашены - а1, в2, а3, то есть в шахматном порядке - 1 способвсего 7 способов

делается и просто.. последняя цифра определяется степенями последней цифры в числе, то есть цифрой 7 в вашем случае  записываем последние цифры возведения в степень (^ и есть значок возведения в степень)  0) 7^0=1  1) 7^1=7  2) 7^2=..9  3) 7^3=..9*7=..3  4) 7^4=..3*7=..1  5) 7^5=..1*7=..7  далее все будет повторяться (то есть 9, 3 и так далее)  период повторения последней цифры равен 4, теперь осталось найти остаток от деления степени 4207 на 4 - он будет равен 3, что очевидно (4204 делится на 4 без остатка).  значит последняя цифра от 2017^4207 будет (смотрим в таблицу на строку 3))  3 

получилась система:

8x + 11y = 678

4y - 3x = 22

решим её методом сложения. домножим первое уравнение предположим на 3, а второе - на 8.

система примет вид:

24x + 33y = 2034                  65y = 2210                        y = 34                                          y = 34

32y - 24x = 176                      4y - 3x = 22                      4 * 34 - 3x = 22              x = 38

  система решена