Нужно решить несколько примеров

Обозначим стороны прямоугольника "а" и "в".  Тогда 2а +2в = 58.
Площадь этого прямоугольника = а*в. После изменения длины сторон станут "а+5" и "в+3". И его площадь станет (а+5)*(в+3) = ав+3а+5в+15. Но эта площадь стала на 126 см² больше. Значит можно записать ав+3а+5в+15 =126 +ав. Или 3а+5в+15 =126. Или 3а + 5в = 111. Таким образом, имеем систему уравнений:
2а +2в = 58
3а + 5в = 111.
Выразим из первого уравнения одно из неизвестных, например, "в"  2в=58-2а. Отсюда в=29-а. Подставим это значение "в" во второе уравнение, имеем 3а +5(29-а) = 3а + 145 - 5а = 145 -2а = 111. Отсюда 2а = 145 -111 = 34. И а = 34/2 = 17. Тогда в = 29-а=29-17=12.
 Проверим периметр 2а + 2в = 2*17 +2*12 = 58. Площадь этого прямоугольника =  17*12=204 см².
Стороны другого прямоугольника  17+5 = 22 см  и 12+3 = 15 см. Его площадь =  22*15 = 330 см²
Разность площадей 330 - 204 = 126 см²
Задача решена верно.

1)Ну для начала заметим, что НОД(3.5) = 1, а 11 нацело делится на 1. Значит, уравнение имеет решение в целых числах. Совершенно понятно, что их бесконечно много. Отыщем общий закон, по которому можно будет найти их все.
Для этого я найду базисную пару (x0;y0) путём подбора. Как я это сделаю? Вместо y будем подставлять остатки от деления на 3. Какие это остатки? 0,1 и 2. Рассмотрим все возможные случаи.
       y = 0, тогда 3x = 11, x = 11/3 - очевидно, не целое число.
       y = 1, тогда 3x + 5 = 11,  3x = 6, x = 2 - это нам подходит.
 Итак, пара (2;1) - базисная для нашего уравнения. Отсюда будем искать общий закон, по которому можно будет найти все остальные решения уравнения.
Пусть n - произвольный целочисленный параметр, а 5/НОД(3,5) = 5, 3/НОД(3,5) = 3, тогда
x = 2 + 5n
y = 1 - 3n
Это и есть общий закон. Подставляя сюда любое целое n, будем каждый раз получать любое целое решение уравнения.

2)20x - 15y = 51
Замечаем, что НОД(20,15) = 5, а 51 не делится нацело на 5. Следовательно, данное уравнение не имеет решений в целых числах.

3)2x - 3y = 17
Видим, что НОД(2;-3) = 1, а 17 делится на 1 нацело. Следовательно, уравнение имеет решения в целых числах. Найдём общий закон, описывающий все эти решения.
Для начала отыщем вновь базисную пару целых решений.
Будем заменять y на остатки от деления на коэффициент при x, то есть, на 2. Это 0 и 1.

y = 0, тогда x = 17/2 - нецелое число.
y = 1, тогда 2x = 20. а x = 10 - подходит
Итак, пара (10;1) - базисная.
Далее, пусть l - целочисленный параметр. -3/НОД(2,-3) = -3, 2/НОД(2,-3) = 2
Тогда общее решение имеет вид:
x = 10 - 3l
y = 1 - 2l
Подставляя вместо l разные целые числа, будем каждый раз получать соответствующие целые x и y.

4)4x - 3y = 10.2
Для начала домножим обе части уравнения на 10.
40x - 30y = 102
рассмотрим остатки левой и правой части при делении на 10.
Замечаем, что 40x даёт остаток 0 при делении на 10(40 идёт как сомножитель).
-30y даёт остаток 0 при делении на 10(по аналогичной причине). Следовательно, вся левая часть даёт остаток 0 + 0 = 0 при делении на 10, который правая часть не даёт. Правая часть даёт остаток 2 при делении на 10. Следовательно, равенства быть не может.