Знайдіть площу фігури, обмеженої лініями у = 2 – х2 і у = –х.

точки пересечения параболы у=2-х² и прямой у=-х (биссектриса 2 и 4 координатных углов):

  2-х²=-х

х²-х-2=0

по теореме виета х₁=-1 , х₂=2

область находится между параболой и прямой, причём на промежутке (-1,2) парабола лежит выше прямой. площадь

s=(от -1 до 2)  ∫ [ (2-х²) ) ]dx=[2x-x³/3+x²/2] (подстановка от -1 до 2)=(2*2-2³/3+2²/+1/3+1/2)=(4-8/3+4/2) +2-1/3-1/2=6-9/3+3/2=6-3+3/2=3+1,5=4,5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

f(x)=2-x^2; f(x)=-x

находим точки пересения

-x^2+x+2=0

x^2-x-2=0

d=9 x1=2, x=-1

берем интеграл

int ((2-))dx; x=-1..2 = 9/2 - искомая площадь 

 

 

 

Одз {x-3> 0⇒x> 3 {x-3≠1⇒x≠4 {x²-4x≠0⇒x(x-4)≠0⇒x≠0 u x≠4 x∈(3; 4) u (4; ∈(3; 4) (x²-4x)²≥(x-3)^4 (x²-4x)²-(x-3)^4≥0 (x²-4x)²-(x²-6x+9)²≥0 (x²-4x-x²+6x-9)(x²-4x+x²-6x+9)≥0 (2x-9)(2x²-10x+9)≥0 2x-9=0⇒x=4,5 2x²-10x+9=0 d=100-72=28 x1=(10-2√7)/4=2,5-0,5√7 u x2=2,5+0,5√7               _                           +                                   _                     +                                 ///////////////////////////////                           //////////////////// ,5+0,5√,5+0,5√,                                             \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ x∈(3; 2,5+0,5√7] 2)x∈(4; ∞) \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\                                 //////////////////////////////////////           _                                   +                                   _                     +           ,5+0,5√,5+0,5√,                                                                                   \\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\ x∈(4; 4,5] ответ x∈(3; 2,5+0,5√7] u (4; 4,5]

Представим данное выражение в виде . так как среди любых трех последовательных целых чисел по крайней мере одно делится на 2 и одно на 3, то при любых целых n число  делится на  следовательно, число  делится на 6, если n - любое число. докажем, что  делится на 7, если n - натуральное число. для начала исследуем методом индукции 1. при  имеем  - кратное 7. 2. допустим, что  делится на 7 при каком-нибудь произвольном натуральном  , т.е.  кратно 7. 3. докажем, что делится на 7 и при  первое слагаемое кратно 7 по допущению второго пункта, а второе слагаемое кратно 7, так как на 7 делятся все его слагаемые, следовательно, картно 7, если n - натуральное число.