Найдите наибольшее и наименьшее натуральное значения n при которых уравнение: имеет натуральные решения. объясните на уровне 9 класса, как решать такие .

(x^2+y^2)^2010=(xy)^n при х и у = 1 , наше уравнение очевидно не справедливо ,  x^2+y^2=(x+y)^2-2xy   видно что x^2+y^2> 2xy .но только при   x=y   => x^2+y^2> =2xy соответственно если мы   возведем левую часть в 2010 степень она будет больше правой,   при х не = у  (x^2+y^2)^2010> =(2xy)^2010   , следовательно n> =2010. при х   не = у   то есть мы по сути должны для начало   решить в целом наше уравнение , показать при каких значениях существует решение! так как мы сказали раннее что n> =2010, то при n=2010, (x^2+y^2)^2010=(xy)^2010 x^2+y^2=xy (x+y)^2-2xy=xy (x+y)^2=3xy слева число будет точным квадратом какого то числа   , а справа чтобы был квадратом нужно чтобы xy=3,   иначе квадрат не получиться, что противоречит   выражению стоящему слева! следовательно   n> 2010  пусть х=y . тогда  (x^2+y^2)^2010=(xy)^n (2x^2)^2010 =x^(2n) 2^2010*x^4020=x^2n 2^2010=x^(2n-4020) так как слева стоит четное числа и как видно в геом прогрессий с знаменателем 2;   то справа значит будет тоже   четное и х=2^k, где к=1,2,4,8, так как   пусть   x числа четное 10,12,14   но не степень   двойки тогда она   должна делиться на числа 2,4,8,16, ! 2^2010=x^(2n-4020) 2^2010=2^(2n-4020) n=3015,   но   наибольшее ли оно , так как  1005=k(n-2010) то "k" отудого делитель   1005 но так как "k"   четное и степень 2 , то это невозможно ,следовательно это оно может равняться только 1! значит это будет и наибольшим ! попробуем при тех же самых х=у   найти минимальное!   то есть я не уверен и уверен  что есть  (x^2+y^2)^2010=(xy)^n 2^2010=x^(2n-4020) так как   было сказано что x=2.4.8.16 1005= k(n-2010) очевидно решение при n=2011. k=1   так как k> 0  отудого x^2=2^2010 => x=2^1005.  теперь рассмотрим при х> y (x^2+y^2)^2010=(xy)^n но так как  x^2+y^2 > 2xy  то есть при разных х , у   оно не имеет     решений! p.s в таких главное   преобразовать уравнение в   более простое, проверить   решения при х=у,   х> y. что то заметить и так далее!

При любом n пара x = 1, y = 1 не является решением. поэтому (xy)^n = (x^2+y^2)^2010 (2xy)^2010  (xy)^2010`. значит, n > 2010. предположим, что `x ne y`. тогда найдется простое число p, такое что `x = p^k a`, `y = p^m b`, и числа a и b не делятся на p. для определенности можно считать, что `k gt m ge 0`. тогда `(p^(2k) a^2 + p^(2m) b^2)^2010 = (p^(k+m)ab)^n`; `(p^(2(k-m)) a^2 + b^2)^2010 = a^nb^np^(n(k+m)-2m*2010)` (1) из условий n > 2010 и k > m получаем: n(k+m) - 2m*2010 = (nk-2010m) + m(n-2010) > 0 . значит, правая часть равенства (1) - целое число, которое делится на p. левая часть на p не делится. противоречие. пусть теперь x = y , тогда из равенства `(x^2+y^2)^2010 = (x^2)^n` получаем: `x^(n-2010) = 2^1005`. откуда `x = 2^q = 0,1, и q(n - 2010) = 1005 . поэтому n - 2010 натуральный делитель числа 1005. по условию нас интересуют только наименьшее и наибольшее возможное значение n. поэтому нужно взять n - 2010 = 1 и n - 2010 = 1005, откуда n = 2011 и n = 3015, при n = 2011 x = y = 2^1005, при n = 3015 x = y = 2. ответ: 2011, 3015

1) набрать в 9литровую 9 л, перелить в 8литровую 8л, в девятилитровой останется 1 л 2) вылить всю воду из 8литровой и перелить в нее 1 литр 3) набрать полную 9литровую и перелить воду в 8 литровую   сколько войдет. так как в 8литровой был уже 1 литр то в нее войдет еще 7 литров тогда в 9 литровой останется 9-7=2 литра 4) вылить всю воду из 8литровой и перелить в нее 2 литра из девятилитровой 5) наполнить 9 литровую и перелить из нее в 8литровую сколько войдет, поскольку в 8литровой уже было 2 литра то в нее войдет 6 литров а в 9литровой останется 9-6=3

пустьвся работа равна 1,  х часов работает один первый экскаватор, тогда второй работает один х-4 часов, производительность первого экскаватора 1/х, а производительность второго 1/(х-4), вместе они выполнят всю работу за 3 часа 45 минут или 15/4 часа. первый выполнит 15/4*(1/х)=15/(4*х) часть всей работы, а второй выполнит 15/4*(1/(х-4))=15/(4*х*(х-4)) часть работы, а вместе они выполнят всю работу, которая равна 1. получаем уравнение:

15/(4*х)+15/(4*х*(х-4))=1 после преобразований получим уравнение

15*(х-4)+15*х=4*х*(х-4)

15х-60+15х=4х²-16х

4х²-46х+60=0

2х²-23х+30=0

d=23²-4*2*30=529-240=289=17²

х₁=)+17)/(2*2)=6/4 - не удовлетворяет условию

х₂=-17)/(2*2)=40/4=10

10ч - выполнит всю работу первый экскаватор,

10-4=6ч - выполнит всю работу второй экскаватор

ответ: 10ч и 6ч