Докажите, что если все стороны описанного многоугольника с нечётным числом сторон равны, то этот многоугольник правильный.

решение к задаче приложено к ответу

Пусть  угол между часовыми стрелками  правильно идущих одинаковых часов (одни показывают местное время, другие - московское) равен  . На чертеже часы изображены в виде равных окружностей. Окружность с центром в точке О – московское время, окружность с центром в точке О1 – местное время. Стрелки красного цвета (ОА и О1В) показывают положение, когда расстояние АВ=m минимальное, стрелки синего цвета (ОА1 и О1В1) показывают положение стрелок, когда расстояние А1В1 = М – максимальное. При этом получаем трапецию АВВ1А1, у которой ОО1 – средняя линия. Значит,  ОО1 =м+М/2.
Ответ: Расстояние между центрами часов м+М/2

Всего в турнире были сыграны n(n-1) партий, и в каждой разыгрывалось 1 очко. Поэтому при равенстве всех результатов участники набрали по n-1 очку. Каждый шахматист сыграл белыми n-1 партию, и количество выигранных им партий белыми равно одному из n чисел: 0, ..., n-1. Предположим, что утверждение задачи неверно: все выиграли разное число партий белыми. Тогда реализованы все возможные варианты от 0 до n-1. Рассмотрим двух участников турнира: A, выигравшего n-1 партию белыми, и B, не выигравшего ни одной такой партии. Разберемся, каким мог быть результат партии, которую A играл против B черными. С одной стороны, A набрал n-1 очко, играя белыми, так что все свои партии черными, в том числе и эту, он должен был проиграть. Но B не выиграл белыми ни одной партии, значит, не мог выиграть и эту. Противоречие.