С какой вероятностью можно утверждать, что доля спортсменов среди студентов факультетов окажется не менее 25%, если при выборочном обследовании 100 человек, занимающихся спортом, оказалось 30 человек?​

Для ответа на этот вопрос, нам нужно воспользоваться понятием доверительного интервала и формулой для его расчета.

Доверительный интервал – это числовой интервал, в котором с определенной вероятностью находится истинное значение параметра, например, доля спортсменов среди студентов факультетов.

Для расчета доверительного интервала для доли спортсменов, используется формула Уилсона:

CI = (p̂ + (z^2/2n) ± z * √((p̂(1-p̂))/n + (z^2/4n^2))) / (1 + (z^2/n))

Где:
CI - доверительный интервал
p̂ - выборочная доля спортсменов (количество спортсменов, поделенное на общее количество студентов)
n - размер выборки (в данном случае 100)
z - стандартное отклонение при уровне доверительной вероятности

Для уровня доверительной вероятности 95%, мы будем использовать z = 1.96. Это значение мы берем из таблицы стандартных нормальных распределений.

Теперь, давайте рассчитаем доверительный интервал с учетом заданных данных:

p̂ = 30/100 = 0.3
n = 100
z = 1.96 (уровень доверительной вероятности 95%)

CI = (0.3 + (1.96^2/2*100) ± 1.96 * √((0.3(1-0.3))/100 + (1.96^2/4*100^2))) / (1 + (1.96^2/100))

Вычисляя эту формулу, мы получим следующий доверительный интервал:

CI = (0.3 + 0.0196 ± 1.96 * √((0.3(1-0.3))/100 + 0.0000196)) / (1 + 0.0196)

Вычислив, мы получим:

CI = (0.3196 ± 1.96 * √(0.21/100 + 0.0000196)) / 1.0196

CI = (0.3196 ± 1.96 * √(0.0000021 + 0.0000196)) / 1.0196

CI = (0.3196 ± 1.96 * √(0.0000217)) / 1.0196

CI = (0.3196 ± 1.96 * 0.004657) / 1.0196

CI = (0.3196 ± 0.009106) / 1.0196

CI = (0.3105, 0.3287)

Таким образом, с вероятностью 95% можно утверждать, что доля спортсменов среди студентов факультетов будет находиться в диапазоне от 0.3105 до 0.3287.

Для ответа на вопрос, нам нужно проверить, содержит ли этот интервал значение, равное или больше 0.25. Если содержит, то мы можем утверждать, что доля спортсменов факультетов окажется не менее 25%.

Из доверительного интервала (0.3105, 0.3287) мы видим, что данный интервал не содержит значение 0.25. Поэтому мы не можем утверждать с вероятностью 95%, что доля спортсменов среди студентов факультетов будет не менее 25%.