Найти длины отрезков соединяющих середины сторон трапеции с равными диагоналями если её основания = 7 см и 9 см, а высота= 8 см )

длины отрезков, соединяющие середины противоположных сторон, заданы в . 

в самом деле, треугольники, образованные диагоналями и основаниями, очевидно подобны, то есть их стороны относятся, как основания. раз диагонали равны, то равны и отрезки этих диагоналей от вершин до точки пересечения, то есть это равнобедренные треугольники, с равными улами при основаниях, а это означает, что треугольники, образованные (например) большим основанием, боковой стороной и диагональю, равны по двум сторонам и углу между ними. 

поэтому трапеция, у которой диагонали равны - равнобедренная.

раз так, то отрезок, соединяющий середины оснований - это попросту высота, по условию это 8. отрезок, соединяющий середины боковых сторон - это средняя линяя, она равна 8.

остается найти длину отрезков, соединяющих середины соседних сторон. для этого надо найти длину диагонали.

проводится высота из вершины малого основания, получается прямоугольный треугольник с катетами 8 (это высота) и 8 - это часть большого основания. в самом деле, от ближайшего конца большого основания до конца проведенной высоты 

(9 - 7)/2 = 1, поэтому до другого конца 9 - 1 = 8.

диагональ - гипотенуза в этом треугольнике, она равна 8*корень(2).

длина отрезка, соединяющего середины соседних сторон, равна половине диагонали - как средняя линяя в треугольнике, образованном диагональю и двумя сторонами трапеции. то есть она равна 4*корень(2).

ясно, что такая длина у всех четырех отрезков, соединяющих середины любой пары соседних сторон. поэтому эти отрезки образуют ромб. однако в данной это не просто ромб, а квадрат, поскольку высота равна средней линии. : ) 

Управильного треугольника все стороны равны длина вписанной окружности в правильный треугольник r = 2 *  π * r1, где r1 - радиус вписанной окружности r1 = r / 2π = 9 / 2π (м) радиус вписанной окружности в правильный треугольник    r1 = a / 2√3 , где а - сторона треугольника a / 2√3 = 9 / 2π a= 9√3 /  π (м) радиус r2  окружности, описанной около правильного треугольника: r2 = a /  √3 r2 = 9√3 / (π*√3) = 9/π (м) площадь окружности, описанной около правильного треугольника: s =  π* (r2)²  s =  π * (9/π)² =  π* (81/π²) = 81 /  π  ≈ 25,8 м²

в основании правильной четыреухгольной пирамиды  sabcd  лежит квадрат  abcd,    боковые грани — равные треугольники с общей вершиной  s. высота пирамиды н  опускается в центр пересечения  o  диагоналей квадрата основания из вершины пирамиды  s.угол между боковой гранью и плоскостью основания пирамиды является углом между высотой  h(бок)  боковой грани (перпендикуляром  sm, опущенным из вершины  s  пирамиды к  основанию  ab  равнобедренного треугольника боковой грани)  и плоскостью основания.  в прямоугольном треугольнике  som,  sm  - гипотенуза,  so=h  = катет, противолежащий углу 30 градусов,  mo  - катет, прилежащий углу 30 градусов. мо = половине стороны квадрата основания пирамиды.мо =  ab/2 = 6/2 = 3 смкатет, противолежащий углу 30 градусов, равен половине гипотенузы⇒  sm  = 2hпо теореме пифагора: h² +  mo² = (2h)²h² + 9 = 4h²3h² = 9h² = 3h  =  √3 смв прямоугольном треугольнике soa, боковое ребро пирамиды  sa  - гипотенуза,  so=h=√3 - катет, противолежащий искомому углу,  ao  - катет, прилежащий искомому углу.  ao= половине диагонали квадрата основания пирамиды.ao  =  ab*√2 / 2 = 6 *  √2 / 2 = 3√2 смтангенс  искомого  угла -  отношение противолежащего катета к прилежащему.√3 / 3√2 =  1 /  √6 ≈ 0.4082, что приблизительно соответствует углу 22°12' (по таблице брадиса)

угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды приблизительно равен 22 градуса 12 минут.

объем правильной четырехугольной пирамиды равен: v = 1/3 * h * a² v = 1/3 *  √3 * 6² = 12√3 см²