На отрезке ab взяты точки m и n . известно, что ab=12 см , am=8см, bn=10 cм.найдите длину отрезка mn.

Решение 2-8=4 и 12-10=2 12-2-4=6 ответ mn=6см

(5)    (6)  . сумма всех плоских углов всех граней тетраэдра равна сумме углов четырёх треугольников, т.е.  720o  , поэтому, если суммы углов при каждой вершине равны, то каждая из этих сумм равна  180o  . обратное:   (6)    (5)  – очевидно.  (4)    (8)  . если  r  – радиус описанной около тетраэдра сферы,  r  – радиус вписанной сферы и центры этих сфер (рис.1), то точка касания сферы с каждой гранью лежит лежит внутри этой грани и удалена от каждой вершины треугольника на расстояние    , т.е. является центром описанной около этого треугольника окружности радиуса    .  (8)    (4)  . в любом тетраэдре перпендикуляры, опущенные из центра  o  описанной сферы на грани (рис.1), в центры описанных окружностей, и если радиусы этих окружностей равны  r1  , то точка  o  одинаково удалена от всех граней (на расстояние    ), а т.к. все грани – остроугольные треугольники, то  o  – центр вписанной сферы.  (8)    (6)  . если радиусы описанных окружностей граней  abc  и  dbc  тетраэдра  abcd  равны, то    bac =    bdc  , поскольку эти углы острые и опираются на равные дуги  bc  в равных окружностях (рис.2). аналогично для всех пар смежных граней. таким образом, 

  bdc +    cda +    adb =    bac+  cba +  acb =  180 o.

А) рассмотрим  δekc пусть ab = a по теореме пифагора: (1) (2) тогда kc = ec  ⇒  δkce - равнобедренный. тогда  ∠ekc =  ∠cek. рассмотрим четырехугольник ekmp. он вписанный  ⇒  ∠epm = 180° -  ∠ekm и  ∠kmp = 180° -  ∠kep. но  ∠ekm =  ∠epm  ⇒  ∠ekm +  ∠kmp = 180°  ⇒ эти углы односторонние. значит, ek||pm. б) из равенств (1) и (2)  ⇒  по теореме пифагора: по теореме о квадрате касательной: в  δekc по теореме косинусов: по теореме косинусов в  δemc   =