Втреугольнике bac отметь угол, противолежащий стороне ca: b a d bca c cba

надо доказать, что угол амв прямой. делаем такие построения - проводим радиусы о1а и о2в в точки касания, проводим линию центров о1о2 (она в данном случае не понядобится, но с ней спокойнее: )) и обозначаем точку пересечения общих касательных ав и той, что, проходит через м, как к. (ясно, что мк перпендикулярно о1о2, это тоже не приголится).

важно вот что.

угол амк = (угол ао1м)/2 (угол между касательной и хордой и центральный угол этой хорды, один измеряется половиной дуги ам, другой - целой дугой ам). аналогично

угол вмк = (угол во2м)/2. 

но поскольку о1а ii о2в, угол  ао1м +  угол во2м = 180 градусов, поэтому

угол амв равен 90 градусов. поэтому если построить на ав окружность, как на диаметре, точка м попадет на эту окружность.

раз трапеция равнобедренная, то и диагонали равны (ну рассмотрите пару треугольников, образованных разными диагоналями, большим основанием и боковой стороной, из их равенства по 2 сторонам и углу между ними следует и равенство третьих сторон, то етсь диагоналей). 

типовое построение - проводим через вершины малого основания прямую ii диагонали, не проходящей через эту вершину, до пересечения с продолжением большого основания. получается треугольник, равновеликий (имеющий ту же площадь) трапеции (у него основание равно сумме оснований трапеции, а высота - общая с трапецией). 

этот треугольник в данном случае равнобедренный прямоугольный с гипотенузой 24*корень(2). поэтому его площадь равна 12*корень(2)*24*корень(2)/2 = 288;

(12*корень(2) - это высота, она же медиана к гипотенузе, равна половине гипотенузы)