Вромбе abcd угол abd в 5 раз больше, чем угол bac. найдите углы ромба.

Вромбе abcd углы abd и bac это острые углы одного из  прямоугольных треугольников, полученных при пересечении диагоналей. они равны:   угол bac =1/6 *90=15,   угол abd=5/6*90=75. так диагонали являются биссектрисами, то углы ромба равны 30 и 150. 

Используем формулу длины биссектрисы: . обозначим ав=с, вс=а. возведём в квадрат: отсюда а*с=36+12=48         (1). биссектриса делит сторону ас пропорционально боковым сторонам. 3/с = 4/а или с = (3/4)*а. подставим в уравнение (1): а*((3/4)*а) = 48 а² =(48*4) / 3 = 64 а =  √64 = 8. с = (3*8) / 4 =6. находим радиус окружности, вписанной в треугольник авс: аналогично находим  радиус окружности, вписанной в треугольник  двс: r₁=1,290994. разность r - r₁ = 0,645498. по теореме косинусов находим величину угла с: . с =  0.812756  радиан =  46.56746°. центры окружностей с радиусами  r и r₁ лежат на биссектрисе угла с. тангенс угла с/2 = tg(46.56746 / 2) = tg  23.28373° = 0,43033. тогда длина отрезка км равна: км = (r-r₁) / tg(c/2) =  0,645498 /  0,43033 = 1,5.

точка а находится на одинаковом расстоянии от всех вершин равностороннего треугольника, => точка а проектируется в центр правильного треугольника.

найти длину перпендикуляра н.

центр правильного треугольника - точка пересечения медиан, высот, биссектрис, в которой они делятся в отношении 2: 3, считая от вершины. 

высота h  правильного треугольника вычисляется по формуле: h=a√3/2.

h=(4√3)*√3/2, h=6 см.

рассмотрим прямоугольный треугольник: катет - высота н, катет -  (2/3)h=4 см, гипотенуза - расстояние от точки а до вершин треугольника =5 см.

по теореме пифагора: 5²=н²+4². н=3 см

ответ: расстояние от точки а до плоскости треугольника 3 см