Утетрайдрі, кожне ребро якого дорівнюе 10 см , побудуйте переріз площиною , яка проходить через середини трьох ребер , що виходять з одніеї вершини.знайдіть периметр перерізу.

Тетраедр кавс, к-вершина, точка н на ребрі кс, точка м на кв, площина анм, кн=нс, км=мв, трикутникакс=трикутникакв по 3 сторонам, трикутники рівносторонні, ан=ам=медіані, висоті, біссектрисі=сторона*корінь3/2=10*корень3/2=5*корінь3, нм середня линія трикутникаскв=1/2св=1/2*10=5, периметранм=ан+ам+нм=5*корінь3+5*корінь+5=10*корінь3+5

угол аос - центральный и равен 90° (дано), значит дуга ас, на которую он опирается, равна 90°. угол авс - вписанный и опирается на дугу ас=90°. градусная мера вписанного угла равна половине градусной мере дуги, на которую он опирается, то есть 45°. но угол авс равен сумме углов ова и овс=15°, значит угол ова = 45°-15°=30°.

в прямоугольном треугольнике овк (точка к - это основание серединного перпендикуляра к прямой ав, т.е. расстояние от о до ав =6см это дано) против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы ов, являющейся радиусом описанной окружности. значит ов=12см.

итак, искомый угол ова = 30°, а r = 12cм.

 

можно решить 2 способом:  

1 способ:    

из прямоуг. треуг-ка аов найдем катеты( равны радиусу) 2rквад = 324, или rквад = 162. теперь по известной формуле для прямоуг. тр-ка найдем искомое расстояние, а именно - высоту, опущенную на гипотенузу:

h = rквад/ав =  9см

2 способ :  

треугольник аов - равнобедренный и прямоугольный по теореме пифагора оа = ов = 18 : sqrt2 = 9*sqrt2 обозначим h - расстояние от точки о до хорды, этот отрезок будет перпендикулярен хорде тогда площадь треугольника аов = оа*ов/2 = ав*h/2 отсюда h = оа*ов/ав = (9*sqrt2)^2/18 = 9 см