Довжина кола яке проходить через кінці однієї сторони квадрата і дотикається до паралельної їй сторони, дорівнює 10п. знайдіть сторону квадрата.

C= 2pir = 10pi радиус окружности r=5  вершины квадрата лежат на окружности => радиусы окружности образуют равнобедренный треугольник с основанием, равным стороне квадрата (а) высота этого треугольника (х) образует прямоугольный треугольник из которого по т.пифагора 25 = x^2 + (a/2)^2 25 = x^2 + a^2 / 4 100 = 4x^2 + a^2 противоположная сторона квадрата является касательной к окружности и радиус перпендикулярен ей в точке касания => 5+x = a 100 = 4x^2 + (5+x)^2 100 = 4x^2 + 25 + 10x + x^2 x^2 + 2x - 15 = 0 x1 = -5 имеет смысла x2 = 3 а = 8

пусть длина прямоугольника равна ав=а, а ширина(меньшая сторона) вс=в, тогда периметр

р = 2(а + в) = 54

а + в = 27

а = 27 - в                                       (1)

в прямоугольном треугольнике, образованном большей стороной прямоугольника ав=а и двумя одинаковыми катетами ам = вм = с

а² = 2с²

с² = 0,5а²                                         (2)

в другом прямоугольном тр-ке амд, образованном гипотенузой ам = с и катетами ад = в и мд = 0,5а

с² = в² + (0,5а)²                              (3)

приравняем правые части  (2) и (3)

0,5а²= в² + (0,5а)²

в² = 0,5а² - 0,25а²

в² = 0,25а²

в = 0,5а

а = 2в                                                     (4)

приравняем правые части  (1) и (4)

27 - в= 2в

3в = 27

в = 9

ответ: меньшая сторона прямоугольника равна 9см

 

пусть катеты a и b

а/b=3/4

a=3b/4

пусть меньший отрезок, на которые делит высота гипотенузу равен x тогда второая x+14

по теореме высота h^2=x(x+14)

по теореме пифагора a^2=x^2+h^2=x^2+x(x+14)=2x^2+14x

снова по теореме пифагора: b^2=h^2+(x+14)^2=x(x+14)+(x+14)^2=x^2+14x+x^2+28x+196=2x^2+42x+196

но так как мы сказали что a=3b/4 => a^2=9b^2/16=9(2x^2+42x+196)/16

9(2x^2+42x+196)/16=2x^2+14x

9(2x^2+42x+196)=32x^2+224x

18x^2+378x+1764=32x^2+224x

-14x^2+154x+1764=0

14x^2-154x-1764=0

x^2-11x-126=0

x=18

осталось найти a и b и найти площадь