Медианы треугольника abc, проведенные из вершин b и c, пересекаются под прямым углом. найдите длину стороны bc, если длина медианы треугольника, проведенной из вершины a, равна 18 см.

Медианы любого треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2: 1, считая от т.е. медиана из вершины а точкой пересечения разделится на 12 и 6 часть медианы, равная 6, медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе (вс), а основание этой медианы (точка, лежащая на вс) делит гипотенузу пополам и является центром описанной около прямоугольного треугольника окружности, т.е. 6 = вс/2 вс = 12

чертим ромб авсd, его стороны по 10см, угол а=30. диагонали его пересекутся под прямым углом в точке о и этой точкой поделятся пополам. из точки о проведем перпендикуляр он к стороне ав. он и есть радиус вписанной в ромб окружности. найдем диагональ ромба вd по теореме косинусов:

bd^2=ab^2+ad^2-2*ab*ad*cosa=100+100-2*10*10*cos30=200-100*√3=27

bd=5,2см    во=5,2/2=2,6см

по теореме пифагора  ао^2=ав^2-bo^2=100-6,76=93,24

сейчас работаем с треугольником аов. его площадь можно найти двумя способами:

s=(a0*bo)/2=9,6*2,6/2=12,5

s=(ab*oh)/2.  отсюда выразим он:

он=2s/ав=25/10=2,5см.

ответ: 2,5см.

по формуле герона s треугольника = корень(p(p-a)(p-b)(p- где p - полупериметр

p = (a+b+c)/2           p = (25+20+15)/2 = 60/2 = 30

s треуг.abc = корень(30*(30-25)*(30-20)*(30-15)) = корень(3*10*5*10*3*5) = 5*3*10 = 150

отношение площадей подобных треугольников = квадрату коэффициента подобия.

k^2 = s cda / s abc           k = ad/bc = dc/ac = ac/ab = 15/25 = 3/5

9/25 = s cda / 150

s cda = 150 * 9/25 = 6*9 = 54

s трапеции = s abc + s cda = 150 + 54 = 204