Отрезок mh пересекает некоторую плоскость в точке k. через концы отрезка проведенны прямые hp и me, перпендикулярные плоскости и пересекающие ее в точках p и e. найдите pe, если hp=4см, hk=5см, me=12см.

    диагонали трапеции «высекают» в ней подобные треугольники.       ∆вос~∆ аод   по равным углам: углы при основаниях равны как накрестлежащие; при точке о - как вертикальные. k=ао: ос=3. отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента их подобия.   ⇒ ѕ(аод): ѕ(вос)=3²=9 ⇒ ѕ(аод)=36•9=324.

  высота в ∆ аво и вос общая. отношение площадей треугольников с равными высотами равно отношению сторон, к которым высоты проведены.   ѕ(аво)=3ѕ(всо)=36•3)=108   аналогично ѕ(сод)=3ѕ(вос)=108. (попутно заметим, что площади треугольников, образованных частями диагоналей и боковыми сторонами трапеции всегда равны именно по этому свойству).   площадь трапеции авсд равна сумме площадей четырех треугольников. s(авсд)=36+324+2•108=576 ( ед. площади)

Δbdc и δb1d1c1: bd = b1d1  (из . к. d и d1  — середины сторон ас и а1с1  ) ∠bdc = ∠b1d1c1  (из условия).таким образом, δbdc = δb1d1c1  по 1-му признаку равенства треугольников. откуда вс = в1с1.аналогично δadb = δa1d1b1  и ав = a1b1  в δabc и δa1b1c1: ав = а1в1  (из равенства δadb = δa1d1b1  вс = в1с1  (из равенства δвdс = δв1d1с1  ас = а1с1  (из условия) таким образом, δавс = δa1b1c1  по 3-му признаку равенства треугольников, что и требовалось доказать.