Втреугольниках авс и а1 в1 с1, ав=а1в1, ас= а1 с1, угол а равен углу а1. на сторонах ас и а1 с1 отмечены точки d и d1 так, что cd= c1 d1. докажите, что δавd= δa1 b1 d1.

ответ: вычислим угол вось­ми­уголь­ни­ка по фор­му­ле   таким образом, угол вось­ми­уголь­ни­ка равен   если вер­ши­ны по­сле­до­ва­тель­но со­еди­нить от­рез­ка­ми через одну, то об­ра­зу­ют­ся че­ты­ре рав­ных рав­но­бед­рен­ных треугольника, углы при ос­но­ва­нии ко­то­рых равны   тогда угол между двумя отрезками, ко­то­рые со­еди­ня­ют вер­ши­ны равен   по­сколь­ку все че­ты­ре рав­но­бед­рен­ных тре­уголь­ни­ка равны, то и сто­ро­ны по­лу­чив­ше­го­ся четырёхугольника равны. таким образом, если вер­ши­ны вось­ми­уголь­ни­ка по­сле­до­ва­тель­но со­еди­нить от­рез­ка­ми через одну, то по­лу­чит­ся квадрат.

точка о - точка пересечения прямых

угол между двумя пересекающимися прямыми всегда измеряется от 0 до 90 градусов (по определению)

и максимальную сумму ac+bd мы получим под углом в 90 градусов

значит получим два равных прямоугольных треугольника

обозначим ao=x

предположим что ao=oc =x (так как отрезки изменяются пропорционально)

значит и отрезки bo = do = x (по равенству треугольников)

тогда по теореме пифагора ac = bd = x√2

ac+bd = 2x√2

ab+cd=ao+bo+co+do= 4x

cократим на x и сразу видим что:

2√2 < 4

значит ac+bd < ab + cd,   ч.т.д