Ребро куба равно a. найти расстояние между диагональю куба и скрещивающимся с ней ребром.

Искомое расстояние равно а/корень(2)

Пусть имеем четырёхугольник авсд. свойство  четырёхугольника, вписанного в окружность, - сумма противолежащих углов равна 180 градусов.разделим его диагональю ас на 2 треугольника: авс и асд.так как < d = 180-(< b), то cos  d = -cos b.выразим по теореме  косинусов  сторону ас из двух треугольников, обозначив ас=у,  cos b = х, а  cos д = -х .у² = 3²+10²  -  2*3*10*х = 109  -  60х, у² = 5² + 8² +2*5*8*х   =   89 + 80х. вычтем из второго уравнения первое: -20+140х = 0 или х = 20/140 = 1/7. это  cos b = 1/7, а  cos д = -1/7.теперь можно найти значение диагонали ас: ас² = 109-60*(1/7) = (109*7 - 60)  / 7 = 703/7  ≈  10,021406. площадь заданного  четырёхугольника определим как сумму площадей треугольников авс и асд, площадь которых найдём по формуле герона.полупериметр авс =    11,510703, асд =  11.510703.s(авс) =    √( 11.510703( 11.510703-3)( 11.510703-10)( 11.510703-10,021406)) = 14,8461498.s(асд) =    √(   11.510703(   11.510703-5)(   11.510703-8)(   11.510703-10,021406)) = 19,7948664. ответ:   s(авсд) =  14,8461498 +  19,7948664 =  34.641016 кв.ед.

Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и притом только один. доказательство: предположим, что на плоскости, которой принадлежат и прямая, и точка, таких перпендикуляров существует два. поскольку точка вне прямой принадлежит обоим перпендикулярам, получаем треугольник с вершиной в этой точке и основанием, расположенном на прямой. так как оба перпендикуляра составляют с прямой углы по 90° (углы при основании треугольника) плюс угол при вершине, то сумма внутренних углов такого треугольника получается больше 180°, - а это на плоскости осуществить невозможно. следовательно, наше предположение о том, что через одну точку к данной прямой на плоскости можно провести больше одного перпендикуляра, - не верно и такой перпендикуляр существует только один. теорема доказана.