Одна из диагоналей параллеограмма является его высотой и равна 9 см. найдите стороны этого параллеограмма, если его площадь равна 108см(в квадрате

Площадь равна основание на высоту, т.е. основание, или одна из сторон равна 108: 9=12. из прямоугольного треугольника с катетами 9 и 12 находим гипотенузу, или вторую сторону. по пифагору она равна корень из (144+81) = 15. стороны параллелограмма раны 12 и 15 см.

Решение : решение пусть в выпуклом четырехугольнике abcd ав + cd =вс +ad. (1) точка о пересечения биссектрис углов а и в равноудалена от сторон ad, ав и вс, поэтому можно провести окружность с центром о, касающуюся указанных трех сторон (рис. 238, а). докажем, что эта окружность касается также стороны cd и, значит, является вписанной в четырехугольник abcd. предположим, что это не так. тогда прямая cd либо не имеет общих точек с окружностью, либо является секущей. рассмотрим первый случай (рис. 238, б). проведем касательную c'd', параллельную стороне cd (с' и d' точки пересечения касательной со сторонами вс и ad). так как abc'd' описанный четырехугольник, то по свойству его сторон но вс' =вс -с'с, ad' =ad - d'd, поэтому из равенства (2) получаем: правая часть этого равенства в силу (1) равна cd. таким образом, приходим к равенству т.е. в четырехугольнике ccdd' одна сторона равна сумме трех других сторон. но этого не может быть, и, значит, наше предположение ошибочно. аналогично можно доказать, что прямая cd не может быть секущей окружности. следовательно, окружность касается стороны cd, что и требовалось доказать. 

Пусть e - точка пересечения прямых bc и ad. если е не совпадает с d (на чертеже изображен как раз один из таких случаев), то прямоугольные треугольники bed и ced равны по гипотенузе и катету: bd=cd по условию, а ed - общий катет. отсюда ∠bde=∠cde, а т.к. точки a,d,e лежат на одной прямой, то и ∠bda=∠cda.  (заметим, что если е совпала с d, то равенство углов ∠bda и ∠cda следует сразу из условия, т.к. bc⊥ad). далее, треугольники bda и cda равны по сторонам и углу между ними (ad - общая, bd=cd по условию, ∠bda=∠cda доказали выше), а значит, ab=ac, что и требовалось.