Точка f и p лежит на стороне bc прямоугольника abcd а точка t на стороне ad bf = fp=pc = at вычислить площадь четырехугольника afpt если ав = 2 см ад = 6 см

площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту:

s = ((ad + bc) / 2) · bh,

где  высота трапеции  — это перпендикуляр, проведенный из любой точки одного из оснований к прямой, содержащей другое основание.

рассмотрим трапецию  abcd  с основаниями  ad  и  bc, высотой  bh  и площадью  s.

докажем, что  s = ((ad + bc) / 2) · bh.диагональ  bd  разделяет трапецию на два треугольника  abd  и  bcd, поэтому  s = sabd  + sbcd. примем отрезки  ad  и  bh  за основание и высоту треугольника  abd, а отрезки  bc  и  dh1  за основание и высоту треугольника  bcd. тогда

sabc  = ad · bh / 2, sbcd  = bc · dh1.

так как  dh1  = bh, то  sbcd  = bc · bh / 2.таким образом,

s = ad · bh / 2 + bc · bh = ((ad + bc) / 2) · bh.

теорема доказана.

пусть дана равнобедренная трапеция авсd. из условия ясно, что точка м проецируется в центр о вписанной в трапецию окружности, так как расстояние от точки м до стороны - это перпендикуляр из точки м к стороне, а радиус вписанной окружности - перпендикуляр из точки о на плоскости трапеции к ее стороне. основания этих перпендикуляров находятся в одной точке по теореме о трех перпендикулярах. диаметр вписанной в нашу трапецию окружности пройдет через середины ее оснований, значит боковая сторона трапеции будет равна сумме двух отрезков: половин большего и меньшего оснований, так как касательные из одной точки к окружности равны, то ар=ан и вр=вn (см. рисунок). но ор - это высота из прямого угла   треугольника аов (боковая сторона видна под углом 90° из центра вписанной окружности   - свойство). и по ее свойству равна ор = √(ар*вр) = √(2*4,5) = 3 ед. тогда по пифагору из прямоугольного треугольника мор найдем искомое расстояние мо.

мо=√(мр²-ор²) = √(5²-3²) = 4 ед.   это ответ.