Известно, что в четырехугольник вписана окружность, а длины трех из сторон этого четырехугольника равны 25, 36, 47. какое наименьшее значение может иметь длина четвертой стороны этого четырехуголника?

Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон должны быть равны. пусть эта сторона=x x+сторона=сторона+сторона отсюда x=сторона+сторона-сторона (но x должен быть положительным) отсюда наименьшее возможное x=25+36-47=14

Обозначим катеты а и в, радиус вписанной окружности r. на катетах отрезки от острого  угла до точки касания вписанной окружности тоже равны 3 и 7. тогда катеты равны r+3 и r+7. по пифагору (r+3)² +  (r+7)² = 10². r²+6r+9+r² +14r+49 = 100.2r²+20r-42 = 0, r²+10r-21 = 0. квадратное уравнение, решаем относительно r:   ищем дискриминант: d=10^2-4*1*(-21)=100-4*(-21)=*21)=)=100+84=184; дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня: r_1=(√184-10)/(2*1)=√184/2-10/2=√46-5  ≈1,78233; r_2=(-√184-10)/(2*1)=-√184/2-10/2=-√46-5  ≈  -11,78233 этот отрицательный корень отбрасываем. определяем катеты: а =  √46-5+3 =  √46-2,в =  √46-5+7 =  √46+2.площадь s треугольника равна: s = (1/2)ab = (1/2)*(√46-2)*( √46+2) = (1/2)*(46-4) = 42/2 = 21 кв.ед.

1. рассмотрим параллелограмм abcd. диагональ ac разделяет его на два треугольника: abc и adc. эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам (ac-общая сторона, угол 1=углу 2 и угол 3=углу 4 как накрест лежащие углы при пересечении секущей ac и cd, ad и bc соответственно). поэтому ab=cd, ad= bc и угол b=углу d. далее, пользуясь равенствами углов 1 и 2, 3 и 4, получаем угол a=углу 1+угол 3=угол 2+угол 4=углу c. 2. пусть о-точка пересечения диагоналей ac и bd параллелограмма abcd. треугольники aob и cod равны по стороне и двум прилежащим углам (ab=cd как противоположные стороны параллелограмма, угол 1= углу 2 и угол 3=углу 4 как накрест лежащие углы при пересечение параллельных прямых ab и cd секущими ac и bd соответсвенно). поэтому ao=oc и ob=od, что и требовалось доказать