Радиусы оснований усеченного конуса равны 3 и 6, а высота равна 4. найдитп площадь осевого сечения конуса и боковой поверхности

Дано:

Окружность с центром в точке О.

△АОВ.

АВ - хорда.

∠ОВА = 30°

ОВ, ОА - радиусы.

Через В проведена касательная.

Касательная ∩ АО = С.

АС = b.

Найти:

ВС - ?

Решение:

Обозначим касательную, которая проведена через точку В точками ВС.

АС - секущая.

Так как ОВ, ОА - радиусы ⇒ ОВ = ОА ⇒ △АОВ - равнобедренный.

⇒ ∠ОВА = ∠ОАВ = 30°, по свойству равнобедренного треугольника.

Сумма углов треугольника равна 180°.

⇒ ∠ВОА = 180° - (30° + 30°) = 120°

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

ОВ - радиус, проведенный в точку касания с касательной ВС ⇒ ВС ⊥ ОВ.

⇒ △СВО - прямоугольный.

Сумма смежных углов равна 180°.

∠ВОА смежный с ∠ВОС ⇒ ∠ВОС = 180° - 120° = 60°.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.

⇒ ∠ОСВ = 90° - 60° = 30°

Если угол прямоугольного треугольника равен 30°, то напротив лежащий катет равен половине гипотенузы.

⇒ ОВ = 1/2ОС. ⇒ОС = 2 * ОВ = 2R (R - радиус данной окружности)

Найдём BC, по теореме Пифагора: (с² = а² + b², где с - гипотенуза; а, b - катеты)

BC = √(OC² - BO²) = √((2R)² - R²) = √(4R² - R²) = √3R² = R√3

⇒ CD = CO - DO = 2R - R = R

Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной.

⇒ BC² = CD * AC

(R√3)² = R * b

R = b/3

⇒ BC = √(b * b/3) = b√(3)/3.

ответ: b√(3)/3.

Проведём осевое сечение пирамиды перпендикулярно ребру основания. Получит равнобедренный треугольник CDS.

DS = CD = 6*cos 30° = 6*√3/2 = 3√3.

По свойству правильной пирамиды вершина S проецируется на основание в точку О. DO = (1/3)DC = (1/3)*6*(√3/2) = √3.

OC = 2DO = 2√3.

Высота пирамиды Н = √(6² - DO²) = √(36 - 12) = √24 = 2√6.

По условию задания точка P делит высоту пополам, значит, SP = √6.

Из подобия треугольников SH/PS = OS/SC.

Отсюда SН = PS*OS/CS = √6*2√6/6 = 2.

Угол DSC = DCS.  

cos(DSC) = 2√3/6 = √3/3.

Находим отрезок ST:

ST = SH/cos(DSC) = 2/(√3/3) = 6/√3 = 2√3.

Рассмотрим грань ASB. Треугольники ASB и ESK  подобны с коэффициентом к = SD / ST = (3√3)/(2√3) = 3/2.

Отсюда длина ЕК равна:

ЕК = АВ/(3/2) = 6*2/3 = 4.

Находим высоту сечения:

ТН = √((2√3)² - 2²) = √(12 - 4) = √8 = 2√2.

ответ: S(EKH) = (1/2)*4*(2√2) = 4√2.