Найдите все углы, образовавшиеся при пересечинии двух параллельных прямых a и b секущей с если один из углов на 40 градусов меньше другого.

Углы смежные, значит  в сумме 1-ый и 2-ой угол составляют 180 градусов, значит: 2-ой угол=(180-40)/2=70, 1-ый угол=70+40=110

Обозначим соседние стороны прямоугольника за a и b. тогда p=2(a+b), s=ab - формулы периметра и площади прямоугольника. таким образом, 2(a+b)=24, ab=34. выразим b из первого равенства - 2(a+b)=24  ⇒ a+b=12  ⇒ b=12-a ab=34  ⇒ a(12-a)=34  ⇒ 12a-a²=34  ⇒ a²-12a+34=0. решим это квадратное уравнение: a²-12a+34=0, d=12²-4*34=144-136=8,  √d=2√2 a1=(12+2√2)/2=6+√2, a2=(12-2√2)/2=6-√2. если a=6+√2, то b=12-6-√2=6-√2. если a=6-√2, то b=6+√2. таким образом, одна сторона прямоугольника равна 6-√2, а другая 6+√2. нетрудно убедиться в том, что периметр и площадь будут равны 24 и 34 соответственно.

№1. Сторона правильной четырехугольной пирамиды равна а, а диагональное сечение - равносторонний треугольник. Найти объем пирамиды.

--------

Пирамида QABCD, QO -  высота,  АQC- диагональное сечение, АВ=а.

V=S•h:3

S=a²

h=AC√3/2  

AC=a:sin45°=a√2

h=a√6/2

V=a³√6/6

----------------------------------------

№2. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 12 см, а апофема – 15 см. Вычислить площадь боковой поверхности пирамиды.  

      Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды, следовательно, QH⊥CD. По т. о 3-х перпендикулярах ОН⊥CD.  

По т.Пифагора ОН=9 ( можно обойтись без вычислений, т.к. ∆ QOH- египетский, где отношение катет:гипотенуза=4:5).

ОН - половина АD, ⇒АD=2OH=18 (см)

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению апофемы на полупериметр основания.  

S=15•18•4:2=540 см².

————————

№3. Условие неполное.  

Объем  V  правильной треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади правильного треугольника, являющегося основанием S (ABC), на высоту h (OS)

Формула площади основания S=a²√3/2. Зная высоту, несложно вычислить объём данной пирамиды.  

———————

№4.

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 8 см, а боковая грань наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найти площадь полной поверхности пирамиды.  

S(бок)=3•MH•AB:2=3•8/3•8:2=32

————————

№5  

Основание пирамиды – треугольник со сторонами 13 см, 14 см, 15 см. Найти площадь сечения, которое проходит параллельно плоскости основания и делит высоту пирамиды в отношении 1:2, считая от вершины пирамиды.  

————————

№6.

Найти объём правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6 см, а диагональное сечение является равносторонним треугольником.  

———————

Решения задач 4,5,6  даны в приложениях.

Объяснение: